ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และ ตัวเลขของแฟร์มาต์ ของแฟร์มาต์

ปีแอร์ เดอ แฟร์มาต์(pierre de fermat)

แฟร์มาต์เป็นชาวฝรั่งเศส เป็นนักคณิตศาสตร์ในยุคของการพัฒนาศิลปวิทยา เขาเกิดในวันที่ 17 เดือนสิงหาคม ค.ศ. 1601 แฟร์มาต์เป็นบุตรชายพ่อค้าขายเครื่องหนังผู้มั่งคั่งคนหนึ่งของฝรั่งเศส แฟร์มาต์มีผลงานที่สำคัญในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็นผลงานคิดค้นทางคณิตศาสตร์ของแฟร์มาต์ที่น่าสนใจและเป็นรากฐานในวิชาแคลคูลัสต่อมา คือ Method for determining Maxima and Minima and Tangents of Curved Lines ผลงานคิดค้นส่วนนี้ทำให้สามารถคำนวณหาจุดสูงสุดต่ำสุด และเส้นสัมผัสของรูปกราฟ ความสัมพันธ์แบบต่าง ๆ

ปีแยร์ เดอ แฟร์มา (ค.ศ. 1607 – 1665) มีอาชีพเป็นนักกฎหมายแต่ชอบศึกษาค้นคว้าคณิตศาสตร์ ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้พัฒนาทฤษฎีพื้นฐานที่นำไปสู่การค้นพบวิชาแคลคูลัส เขามีผลงานโดดเด่นในเรื่องทฤษฎีจำนวน เรขาคณิตวิเคราะห์ ความน่าจะเป็น รวมไปถึงเรื่องคุณสมบัติของแสง แฟร์มาริเริ่มบุกเบิกวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ในช่วงเวลาที่ใกล้เคียงกับเรอเน เดการ์ตผู้ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้สร้างวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ แฟร์มาเป็นผู้ค้นพบวิธีการต้นแบบของการหาจุดสูงสุด จุดต่ำสุด และเส้นสัมผัสของเส้นโค้งซึ่งคล้ายกับในวิชาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เขายังเป็นคนแรกที่หาค่าอินทิกรัลของฟังชั่นกำลัง วิธีการของเขาสามารถลดการหาค่าเป็นผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต ทำให้ได้สูตรที่ช่วยให้ไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซพัฒนาวิชาแคลคูลัสได้สำเร็จ แต่สิ่งที่ทำให้แฟร์มามีชื่อเสียงโด่งดังทั่วโลกคือการเสนอทฤษฎีที่เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

เนื่องจากแฟร์มาไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์อาชีพจึงไม่คิดจะตีพิมพ์ผลงานวิจัยใดๆ แต่ชอบเขียนโจทย์และคำตอบในจดหมายแล้วส่งไปให้เพื่อนฝูงอ่าน หลังจากที่แฟร์มาเสียชีวิตทายาทจึงนำจดหมาย และเอกสารต่างๆออกเผยแพร่ ทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกรู้จักทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาที่เสนอว่า ถ้า x, y, z เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 (คือเลข 1, 2, 3, …) และ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 (คือเลข 3, 4, 5, 5,…) สมการ xn + yn = zn ไม่มีทางเป็นไปได้ หรืออาจกล่าวว่าไม่สามารถหาค่า x, y, z ที่สอดคล้องกับสมการได้ ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้เลยจนเวลาผ่านไปเป็นร้อยปี ยังมีผู้คนพยายามพิสูจน์ทฤษฎีนี้อยู่ ทำให้มีความตื่นตัวในการศึกษาคณิตศาสตร์กัน

อย่างกว้างขวาง ในที่สุดแอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้สำเร็จหลังจากเวลาผ่านไป 357 ปี ส่งผลให้เขาเป็นผู้มีชื่อเสียงก้องโลกและได้รับรางวัลอาเบลซึ่งเปรียบเสมือนกับรางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์ นับว่าแฟร์มาเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นที่ได้รับการยกย่องและมีชื่อเสียงมากที่สุด

ผลงานเด่น :

– พัฒนาทฤษฎีพื้นฐานที่นำไปสู่การค้นพบวิชาแคลคูลัส
– พัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์
– พัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับปาสกาล
– ปรับปรุงทฤษฎีจำนวน

นักคณิตศาสตร์และชนรุ่นหลังอย่างมาก คือแฟร์มาต์ได้เสนอทฤษฎีที่เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

แฟร์มาต์ยังได้ทำการศึกษาและให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเลขจำนวนเฉพาะ และต่อมาได้เรียกกันว่า ตัวเลขของแฟร์มาต์ (Fermat Number)

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ทฤษฎีบทสุดท้ายเป็นข้อคิดของแฟร์มาต์ที่นำเสนอว่า จากสมการ xⁿ + yⁿ = zⁿไม่มีทางเป็นไปได้ เมื่อ n มีค่ามากกว่า 2 และ n, x, y, z เป็นเลขจำนวนเต็ม หรือกล่าวได้ว่า ถ้าให้ x, y, z เป็นเลขจำนวนเต็มใด ๆ และ n เป็นเลขจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 แล้ว xⁿ + yⁿ จะต้องไม่เท่ากับ zⁿ

จากทฤษฎีนี้ทำให้มีการตื่นตัวหาวิธีการพิสูจน์ จนเวลาหลายร้อยปี ผู้คนยังพยายามหาทางพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายนี้ ทำให้มีความตื่นตัวในการศึกษาคณิตศาสตร์กันอย่างกว้างขวาง

ตัวเลขของแฟร์มาต์

ความคิดในเรื่องเลขจำนวนเฉพาะได้มีการศึกษากันมาตั้งแต่สมัยยูคลิด ยูคลิดได้กล่าวว่าตัวเลขใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะ หรือกล่าวได้ว่าตัวเลขใด ๆ จะต้องมีตัวประกอบเป็นเลขจำนวนเฉพาะได้เสมอ

N = p¹p²p³…pⁿ
เมื่อ p หมายถีงตัวเลขจำนวนเฉพาะ หรือ 1

ยูคลิดยังได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ในระบบเลขจำนวนเฉพาะ จะมีจำนวนตัวเลขจำนวนเฉพาะได้อนันต์

แฟร์มาต์ได้ทำการศึกษาเลขจำนวนเฉพาะ และได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ตัวเลขจำนวนเฉพาะใด ๆ ที่มีรูปแบบเป็น
4n + 1 ตัวเลขจำนวนเฉพาะนี้จะเขียนให้อยู่ในรูปแบบของตัวเลขยกกำลังสองของตัวเลขสองตัวรวมกัน เช่น

5 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ

5 = 4n + 1 = 4 x 1 + 1 (n = 1) ซึ่งเขียนได้ เป็น

5 = 2² + 1² หรือตัวอย่าง 13 = 4 x 3 + 1 เขียน 13 = 3² + 2²

แฟร์มาต์ยังพิสูจน์ให้เห็นว่า 2ⁿ+ 1 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ ถ้าหาว่า n มีค่าเป็นตัวเลขของสองยกกำลัง เช่น

21 + 1 = 3
22 + 1 = 5
24 + 1 = 17
28 + 1 = 257

อ้างอิง http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/