ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์  หมายถึง กระบวนการ และขั้นตอนวิธีในการประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ โดยใช้ประสบการณ์ที่มีอยู่ในการค้นหาคำตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์

ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ปัญหาหนึ่งอาจต้องใช้วิธีการที่หลากหลาย หรือต้องเลือกวิธีที่เหมาะสม  แล้วสามารถแสดงเหตุผลโดยการอ้างอิงความรู้  ข้อมูลหรือข้อเท็จจริง  หรือสร้างแผนภาพ  โดยใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร  สื่อความหมาย  และนำเสนอได้อย่างถูกต้อง  ชัดเจน  รัดกุม  พร้อมทั้งสามารถเชื่อมโยงความรู้ เนื้อหาต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ แล้วนำความรู้  หลักการ  และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ ได้อย่างมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

กระบวนการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทำเป็นขั้น ๆ ดังนี้

ขั้นที่  1  ทำความเข้าใจปัญหา

ขั้นที่  2  วางแผนแก้ปัญหา

ขั้นที่  3  ดำเนินการตามแผน

ขั้นที่  4  ตรวจสอบผล

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
แบ่งเป็น 6 สาระ
1. จำนวนและการดำเนินการ
2. การวัด
3. เรขาคณิต
4. พีชคณิต
5. การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น
6. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

หลักสูตรคณิต 2551
หลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 แบ่งเป็น 3 สาระ
1. จำนวนและพีชคณิต
2. การวัดและเรขาคณิต
3. สถิติและความน่าจะเป็น

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ความหมาย : ความสามารถที่จะนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ เพื่อให้ได้มาซึ่งความรู้และประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ เน้นที่ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ คือ การแก้ปัญหา การเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น การแสดงเหตุผล การนำเสนอและการสื่อสาร ความคิดสร้างสรรค์

   ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์  เป็นกระบวนการคิดที่อาศัยความรู้พื้นฐาน  จินตนาการ  และวิจารณญาณ  ในการพัฒนาหรือคิดค้นองค์ความรู้หรือสิ่งประดิษฐ์ใหม่ๆ ที่มีคุณค่าและเป็นประโยชน์ต่อตนเองและสังคม  ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์มีหลายระดับ  ตั้งแต่ระดับพื้นฐานที่สูงกว่าความคิดพื้นๆเพียงเล็กน้อย  ไปจนกระทั่งเป็นความคิดที่อยู่ในระดับสูงมาก  บางครั้งมากจนไร้ขอบเขตจำกัด  คนอื่นคิดไปไม่ถึง  จนมองดูเหมือนว่าเป็นการเพ้อฝัน

ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ระดับพื้นฐาน  เป็นความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ที่เกิดขึ้นกับผู้คนเกือบตลอดเวลาเมื่อต้องการแก้ปัญหาเฉพาะหน้า  หรือแก้ปัญหาที่ใช้วิธีการไม่ยุ่งยาก  เช่น  การเดินป่าหรือเดินทางไกลในสมัยก่อนที่ยังไม่มีความสะดวกในการเดินทาง  การเตรียมข้าวปลาอาหารไม่อาจนำภาชนะถ้วยชามไปได้  ชาวบ้านจึงมีการหุงข้าวโดยใช้กระบอกไม้ไผ่แทนหม้อข้าวซึ่งต่อมาได้พัฒนาเป็นข้าวหลาม

ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ระดับสูง  เป็นความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ที่ส่งผลกระทบหรือก่อประโยชน์ที่กว้างขวางต่อมวลมนุษย์ เช่น  การคิดสร้างเครื่องกำเนิดไฟฟ้า  หลอดไฟฟ้า  และคอมพิวเตอร์

สำหรับความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ระดับสูงในทางคณิตศาสตร์  จะเห็นได้จากผลงานของนักคณิตศาสตร์ที่เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาการบางแขนงทางคณิตศาสตร์  เช่น  วิชาแคลคูลัส  ซึ่งเป็นวิชาหนึ่งที่มีประโยชน์อย่างมากในการศึกษาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี  ทฤษฎีกราฟที่มีประโยชน์ในการวางผังงานจัดระบบการขนส่งหรือลอจิสติกส์

องค์ประกอบที่สำคัญที่นำไปสู่ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ มีดังนี้

1. ความคิดคล่อง  (fluency)
2. ความคิดยืดหยุ่น  (flexibility)
3. ความคิดริเริ่ม  (originality)
4. ความคิดละเอียดลออ  (elaboration)

1. ความคิดคล่อง

ความคิดคล่อง  หมายถึง  ความสามารถในการคิดเพื่อให้ได้คำตอบจำนวนมากที่

แตกต่างกันหรือหลากหลายวิธี

2. ความคิดยืดหยุ่น

ความคิดยืดหยุ่น  หมายถึง  ความสามารถในการคิดปรับเปลี่ยนตามสถานการณ์ คิดแล้วเลือก / นำไปใช้ให้ตรงกับสถานการณ์หรือเงื่อนไขที่กำหนด  ความคิดยืดหยุ่นจึงเป็นตัวเสริมให้ความคิดคล่องมีความแปลกแตกต่างกันออกไป

3. ความคิดริเริ่ม

ความคิดริเริ่ม  หมายถึง  ความสามารถในการคิดเพื่อให้ได้ความคิดที่มีลักษณะแปลกใหม่แตกต่างจากความคิดพื้นๆ  เป็นความคิดที่เกิดขึ้นครั้งแรกที่แตกต่างจากความคิดพื้นๆ ที่มีอยู่เดิม และอาจไม่เคยมีใครนึกหรือคิดมาก่อน  ผู้ที่มีความคิดริเริ่มจะต้องมีความกล้าคิดนอกกรอบ  กล้าลองเพื่อทดสอบความคิดของตน  และบ่อยครั้งที่ต้องอาศัยความคิดจินตนาการในการประยุกต์

4. ความคิดละเอียด

ความคิดละเอียดลออ  หมายถึง  ความสามารถในการคิดเพื่อให้ได้ความคิดที่มีรายละเอียดอย่างลุ่มลึกหลายแง่มุมของแต่ละคำตอบของปัญหาจนกระทั่งสามารถสร้างผลงานหรือชิ้นงานขึ้นมาได้สำเร็จ  ความคิดละเอียดลออ  เป็นส่วนเสริมให้องค์ประกอบสำคัญ  3  ข้อข้างต้นมีความสมบูรณ์  นำไปสู่ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ที่มีประสิทธิภาพ

ในปี  ค.ศ. 2000  สภาครูคณิตศาสตร์แห่งชาติของสหรัฐอเมริกา  ได้กล่าวไว้ในหนังสือหลักการและมาตรฐานสำหรับคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน    ว่า  การเชื่อมโยงต้องเป็นจุดเน้นที่สำคัญของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์  พร้อมทั้งนำเสนอแนวคิดต่างๆเกี่ยวกับการเรียนการสอน   การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน  ที่เชื่อว่าจะทำให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพดีขึ้น  สิ่งนี้ส่งผลให้นักการศึกษาทั่วโลกหันมาสนใจศึกษาการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ในทุกระดับชั้นของหลักสูตรคณิตศาสตร์ในการศึกษาเหล่านั้น  นักการศึกษาสำคัญหลายคนได้นำเสนอแง่คิดต่างๆเกี่ยวกับความหมายของการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์  และรูปแบบของการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์

ความหมายของการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์

            การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์  เป็นกระบวนการที่ต้องอาศัยการคิดวิเคราะห์  และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์  ในการนำความรู้  เนื้อหาสาระ  และหลักการทางคณิตศาสตร์  มาสร้างความสัมพันธ์อย่างเป็นเหตุเป็นผลระหว่างความรู้และทักษะ / กระบวนการที่มีในเนื้อหาคณิตศาสตร์  กับงานที่เกี่ยวข้อง  เพื่อนำไปสู่การแก้ปัญหา  และการเรียนรู้แนวคิดใหม่ที่ซับซ้อนหรือสมบูรณ์ขึ้น

รูปแบบของการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์

การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์  อาจจำแนกตามลักษณะการเชื่อมโยงได้เป็น  2  แบบ  ดังนี้

1. การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆทางคณิตศาสตร์
2. การเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ

ในวิชาคณิตศาสตร์  เนื้อหาความรู้ส่วนใหญ่เป็นนามธรรมที่ต้องใช้สัญลักษณ์  ตัวแปร  ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์  (เช่น  ตาราง  กราฟ  สมการ  อสมการ  ฟังก์ชันต่างๆ หรือแบบจำลอง) เข้ามาช่วยสื่อความหมายและนำเสนอให้ความรู้นั้น  มีความกะทัดรัดและชัดเจน  ใช้สัญลักษณ์  f(x)  แทนฟังก์ชันของตัวแปร  x  ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดของ  f  ใช้สมการ  y = 2x + 1  แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร  x  และ  y  ใช้กราฟแท่งหรือแผนภูมิรูปวงกลม  เพื่อนำเสนอข้อมูลต่างๆ เป็นต้น

การสื่อสาร  การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์  และการนำเสนอที่มีชื่อเสียงมากที่สุด  ได้แก่  การนำเสนอความรู้ทางคณิตศาสตร์ด้วยหนังสือเอลเลเมนตส์ (Elements)  ที่เขียนโดยยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria : ประมาณ  325 – 265 ปีก่อนคริสต์ศักราช)  นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกในยุคโบราณ  นักคณิตศาสตร์ถือว่า  หนังสือเอลเลเมนส์เป็นผลงานทางคณิตศาสตร์ของยุคลิดที่มีชื่อเสียงที่สุด  และเป็นมรดกทางปัญญาที่มีคุณค่าอย่างยิ่ง

          การสื่อสาร  การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์  และการนำเสนอ  เป็นทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่จะช่วยให้นักเรียนสามารถถ่ายทอดความรู้ความเข้าใจ  แนวคิดทางคณิตศาสตร์  หรือกระบวนการคิดของตนให้ผู้อื่นรับรู้ได้อย่างถูกต้องชัดเจนและมีประสิทธิภาพ  การที่   นักเรียนมีส่วนร่วมในการอภิปลายหรือการเขียน  แลกเปลี่ยนความรู้และความคิดเห็นถ่ายทอดประสบการณ์ซึ่งกันและกัน  ยอมรับฟังความคิดเห็นของผู้อื่น  จะช่วยให้นักเรียนเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้อย่างมีความหมาย  เข้าใจได้อย่างกว้างขวางลึกซึ้งและจดจำได้นานมากขึ้นอีกด้วย

เมื่อสภาครูคณิตศาสตร์แห่งชาติของสหรัฐอเมริกา  ได้กล่าวไว้ในหนังสือหลักการและมาตรฐานสำหรับคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน  หนังสือประจำปี  ค.ศ. 1996 : Communication in Mathematics K-12 and Beyond  และหนังสือประจำปี  ค.ศ. 2001 : The roles of representation in school mathematics  ว่า  การสื่อสารและการนำเสนอต้องเป็นจุดเน้นที่สำคัญของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์  พร้อมทั้งนำเสนอแนวคิดต่างๆเกี่ยวกับการเรียนการสอนการสื่อสารและการนำเสนอในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน  ที่เชื่อว่าจะทำให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพดีขึ้น

กิจกรรมที่ส่งเสริมการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ

            ในการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ  นักเรียนจะต้องอาศัยสัญลักษณ์  ตัวแปร  ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์  หรือแบบจำลองมาช่วยในการนำเสนอแนวคิดหรือการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์มีความกะทัดรัดชัดเจนและง่ายต่อการทำความเข้าใจ  ทั้งนี้เพื่อให้ครู  เพื่อนนักเรียน  หรือผู้เกี่ยวข้อง  สามารถรับรู้แนวคิดหรือการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้องและตรงประเด็น  นอกจากการเรียนการสอนตามปกติที่ครูควรส่งเสริมให้นักเรียนได้มีการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนำเสนอระหว่างกันแล้ว  กิจกรรมต่อไปนี้จะช่วยส่งเสริมการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์  และการนำเสนอ  ที่ครูสามารถนำไปใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ  ได้แก่

1. การสืบสวนสอบสวน
2. การเขียนอนุทิน (journal writing)
3. การเขียนรายงาน หรือทำโครงงาน
4. การเขียนโปสเตอร์

ความหมายของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์  หมายถึง  กระบวนการการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องอาศัยการคิดวิเคราะห์และ /  หรือความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ในการรวบรวมข้อเท็จจริง/ข้อความ/แนวคิด/สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ แจกแจงความสัมพันธ์ หรือการเชื่อมโยง  เพื่อทำให้เกิดข้อเท็จจริงหรือสถานการณ์ใหม่

รูปแบบของการให้เหตุผล

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้งแล้วรวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะนำไปสู่ข้อสรุปซึ่งเชื่อว่า น่าจะถูกต้อง น่าจะเป็นจริง  มีความเป็นไปได้มากที่สุดแต่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริงและยังไม่พบข้อขัดแย้ง เรียกข้อสรุปนั้นว่า ข้อความคาดการณ์

ตัวอย่าง  แก้วตาสังเกตว่า ในวันที่โรงเรียนเปิด คุณครูนวลศรีซึ่งมีบ้านอยู่ท้ายซอย จะขับรถผ่านบ้านของแก้วตาไปโรงเรียนทุกเช้าประมาณ  7.00 น.  แต่วันนี้สายแล้ว  แก้วตายังไม่เห็นคุณครูนวลศรีขับรถไปโรงเรียน  แก้วตาจึงสรุปเป็นข้อความคาดการณ์ว่า วันนี้เป็นวันที่โรงเรียนหยุด

พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์  ซึ่งถ้าแสดงหรือพิสูจน์ได้ว่า  ข้อความคาดการณ์เป็นจริงในกรณีทั่วไป  ข้อความคาดการณ์นั้นจะเป็น  ทฤษฎีบท  ในทางตรงกันข้าม  ถ้าสามารถยกตัวอย่างค้าน  ได้แม้เพียงกรณีเดียว  ข้อความคาดการณ์นั้นจะเป็นเท็จทันที

1. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย  เป็นกระบวนการที่ยกเอาสิ่งที่รู้ว่าเป็นจริงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์  แล้วใช้เหตุผลตามหลักตรรกศาสตร์อ้างจากสิ่งที่รู้ว่าเป็นจริงนั้นเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปหรือผลสรุปที่เพิ่มเติมขึ้นมาใหม่

การให้เหตุผลแบบนิรนัย  ประกอบด้วยส่วนสำคัญ  2  ส่วน  คือ

1) เหตุหรือสมมติฐาน  ซึ่งหมายถึง  สิ่งที่เป็นจริงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง

พิสูจน์  ได้แก่  คำอนิยาม  บทนิยาม  สัจพจน์  ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว  กฎหรือสมบัติต่างๆ

2)  ผลหรือผลสรุป  ซึ่งหมายถึง  ข้อสรุปที่ได้จากเหตุหรือสมมติฐาน

ในทางคณิตศาสตร์  การให้เหตุผลแบบนิรนัย  ประกอบด้วย

     1.คำอนิยาม  หมายถึง  คำที่เราไม่ให้ความหมายหรือให้ความหมายไม่ได้  แต่เข้าใจ

ความหมายได้  โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์  ความคุ้นเคย  หรือสมบัติที่เข้าใจตรงกันเช่น  กำหนดให้คำว่า  จุด  เส้น  และระนาบ  เป็นคำอนิยามในเรขาคณิตแบบยุคลิด

     2.บทนิยาม  หมายถึง  ข้อความแสดงความหมายหรือคำจำกัดความของคำที่

ต้องการ  โดยอาศัยคำอนิยาม  บทนิยามหรือสมบัติต่างๆที่เคยทราบมาแล้ว  เช่น  กำหนดบทนิยามว่า  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ  รูปที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน  และมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก

     3.สัจพจน์  หมายถึง  ข้อความที่เรายอมรับหรือตกลงว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง

พิสูจน์  เช่น  กำหนดให้ข้อความว่า  ระหว่างจุดสองจุดใดๆจะมีส่วนของเส้นตรงเชื่อม  เป็นสัจพจน์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด

     4.ทฤษฎีบท  หมายถึง  ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงซึ่งในการพิสูจน์อาจ

ใช้บทนิยาม  สัจพจน์  หรือทฤษฎีบทอื่นๆที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้ว  มาอ้างอิงในการพิสูจน์  ข้อความที่เป็นทฤษฎีบทควรเป็นข้อความที่สำคัญ  มักนำไปอ้างอิงในการพิสูจน์ข้อความอื่นๆหรือนำไปใช้แก้ปัญหาต่อไป

สสวท.