นิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล-คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ

แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้

a^x         =          1^x         =          1

          ข้อสังเกต

1. ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1^x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
2. เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R⁺ / y = a^x , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ka^x  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = a^x  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

1. f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1^x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
2. f(x) = 1^x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัว
3. จากเงื่อนไขที่ว่า y = a^x, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = a^x, 0 < a < 1

ชนิดที่ 2     y = a^x, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1