บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า “สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้านแล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก”

โดยบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นการนำผลของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาเป็นเหตุและนำเหตุมาเป็นผล ดังนั้น

เหตุ: มีรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ผล : กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

“กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ a² + b² = c² จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้าน เป็นจำนวนสามจำนวนนั้น และด้านที่มีความยาว a และ b จะเป็นด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลื่ยมนั้น”

บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid’s Elements ของ ยุคลิดด้วย โดยบทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

“กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ a² + b² = c² เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ “ด้าน-ด้าน-ด้าน” และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย”

จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใดๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม

ถ้า a² + b² = c² สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า a² + b² < c² สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า a² + b² > c² สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

สามารถเปรียบเทียบและสรุปความแตกต่างระหว่างทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ตามนี้

ในที่สุดก็เจอคู่หูอย่างเด็กชายฟีเนียสจนได้ ! คู่หูพร้อม ข้อมูลก็พร้อมแล้ว วันนี้เราขอรีบไปทำภารกิจกับสายลับ P ใน บทเรียนออนไลน์การนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใช้แก้ปัญหา ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2

แหล่งที่มา : วิกิพีเดีย