โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน คณิตศาสตร์ ม.4

สรุปเนื้อหาเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ

คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

สมบัติของคู่อันดับ

1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

หมายเหตุ :ข้อควรจำ

การเท่ากันของคู่อันดับ หมายถึง (a1, b1) = (a2, b2) ก็ต่อเมื่อ

a1 = b1 และ a2 = b2 หรือก็คือ ตัวหน้า = ตัวหน้า, ตัวหลัง = ตัวหลัง

ผลคูณคาร์ทีเชียน

เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบ

A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน

ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A

• A×{} = {}
• {}×A = {}
• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
• A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
• n(A×B) = n(A).n(B)

พิจารณาความสัมพันธ์

r₁   =   {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}

r₂  =   {(x,y) ∈ I⁺x I⁺ | y = x }

เซตสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์  r ₁  คือ  {1,2,3,4}  เรียกเซตนี้ว่า   โดเมนของ r₁

เซตสมาชิกตัวหลังของความสัมพันธ์  r ₁  คือ  {2,3,4,5}  เรียกเซตนี้ว่า   เรนจ์ของ r₁

ส่วน  r₂ มีโดเมนและเรนจ์เท่ากับจำนวนเต็มบวก

บทนิยาม    ให้  r  เป็นความสัมพันธ์จาก  A ไป B

โดเมนของ  r  คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r  เขียนแทนด้วย  D_r

เรนจ์ของ  r   คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r   เขียนแทนด้วย  R _r

โดเมนและเรนจ์

ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

1. โดเมนของความสัมพันธ์ r  คือ  เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของความสัมพันธ์  r

เขียนแทนด้วย  D_r

2. เรนจ์ของความสัมพันธ์  r  คือ  เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่อันดับของความสัมพันธ์  r

เขียนแทนด้วย  R_r

3. การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์   สามารถทำได้ดังนี้

3.1          กรณีความสัมพันธ์สามารถเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้

โดเมน  คือ  สมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของความสัมพันธ์

เรนจ์  คือ  สมาชิกตัวหลังในคู่อันดับของความสัมพันธ์

3.2          กรณีความสัมพันธ์ไม่สามารถเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้

3.2.1   การหาโดเมน   ควรเขียนความสัมพันธ์ให้อยู่ในรูปของ

y   =   เทอมของ  x

แล้วพิจารณาว่า  ภายในเซตที่กำหนดให้  x  มีค่าอะไรบ้างที่ทำให้หาค่า  y  ได้

โดยที่  y  นั้นต้องอยู่ภายในเซตที่กำหนดให้  ค่า  x  เหล่านั้นจะเป็นสมาชิก

ในโดเมน

3.2.2   การหาเรนจ์   ควรเขียนความสัมพันธ์ให้อยู่ในรูปของ

x   =   เทอมของ  y

แล้วพิจารณาว่า   y  มีค่าเป็นอะไรบ้างที่ทำให้หาค่า  x  ได้  โดยที่  x  นั้น

ต้องอยู่ภายในเซตที่กำหนดให้   ค่า  y  เหล่านั้น  จะเป็นสมาชิกในเรนจ์

การเขียนกราฟความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไข

รูปแบบการเขียนแบบบอกเงื่อนไขจะเป็นเหมือนกับการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข เช่น A = {x : x ∈ R} และ B = {y : y ∈ } เป็นต้น เรามักจะใช้ในกรณีที่ไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกทั้งหมดได้ กรณีที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้ทั้งหมด เช่น x เป็นจำนวนจริง จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงนั้นมีเยอะมาก บอกไม่หมดแน่ๆ จึงต้องเขียนแบบบอกเงื่อนไขนั่นเอง

เรามาดูตัวอย่างการเขียนกราฟกันค่ะ

ให้ A = {x : x ∈ R} และ B = {y : y ∈ R}

กำหนด r ⊂ A × B และ r = {(x, y) ∈ A × B : y = 2x²+1}

ขั้นที่ 1 ให้ลองแทนค่าของจำนวนเต็มบวก x ลงในสมการ y = x²  ที่ต้องแทน x เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะเงื่อนไขในเซต A นั่นเอง

แทน x = 0, 1, 2, 3, 4

x = 0 ; y = 1

x = 1 ; y = 2(1)²+1 = 3

x = 2 ; y =2 (2)² +1= 9

x = 3 ; y = 2(3)² +1= 19

x = 4 ; y = 2(4)² +1= 33

ขั้นที่ 2 เมื่อเราแทนค่า และได้ค่า y มาแล้ว ให้เราเขียนคู่อันดับที่เราได้จากขั้นที่ 1

จะได้คู่อันดับ ดังนี้ (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3,19), (4, 33)

กราฟของความสัมพันธ์ ในรูปแบบกำลังสอง

ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ สมการ y = ax² + bx +c เป็นสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นสมการพาราโบลาที่เราเคยเรียนมาตอนม.ต้นนั่นเอง

ให้  = {(x, y) : y = 3x²+1}

หรือ ถ้าให้ = {(x, y) : y = x² + 2x + 9}

กราฟของความสัมพันธ์ ในรูปแบบค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์คืออะไร

ค่าสัมบูรณ์นั้นปรากฏให้เห็นครั้งแรกในข้อเขียนของ ฌอง โรเบิร์ต อาร์แกนด์ (Jean-Robert Argand) นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นชาวสวิส เขาใช้คำว่า “absolute” และ “โมดูลัส (modulus) หรือโมดูล (module)” ในข้อเขียนดังกล่าว ซึ่งหมายถึงหน่วยวัด ในภาษาฝรั่งเศส  เพื่อระบุขนาดของเวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อนในการสร้างกราฟ ต่อมาในปี ค.ศ. 1841 Karl Weierstrass นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้นำเสนอสัญลักษณ์ค่าสัมบูรณ์  | x | และนำมาใช้คำนวณทางคณิตศาสตร์กันทั่วไป

ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ และ  y= | -x |

กำหนดให้ r = {(x, y) :   y= | x-1 | }