x+10=15

เป็นประโยคเปิด เพราะเราไม่ทราบว่า x มีค่าเท่าไร จึงไม่สามารถบอกได้ว่าประโยคนี้เป็นจริงหรือเท็จ

หากแทนค่า x ด้วย 5 เราสามารถบอกได้ว่าประโยคนี้เป็นจริง ซึ่ง 5+10=15 เป็นประพจน์

หรือหากแทนค่า x ด้วย 1 เราสามารถบอกได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จ ซึ่ง 1+10=15 ก็ถือว่าเป็นประพจน์เช่นกัน

คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรไม่เป็นประพจน์และเมื่อแทนที่ตัวแปร ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้ เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้

นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง

ประโยคเปิด เช่น
1. เขาเป็นนักว่ายน้ำทีมชาติไทย
2. x – 6 = 10
3. y < – 6

ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1. 10 เป็นคำตอบของสมการ x – 1 = 7
2. โลกหมุนรอบตัวเอง
3. จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8
4. กรุณานั่งเงียบ ๆ
5. ห้ามสูบบุหรี่

ข้อตกลง
1. นิยมแทนประพจน์ด้วย p,q,r,s,…
2. นิยมแทนประโยคเปิดด้วย P(x) , Q(x) ,… P(x,y) , Q(x, y), … โดย P(x) , Q(x) , … แทน ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร โดย P(x, y) , Q(x, y) , … แทน ประโยคเปิดที่มี x และ yเป็นตัวแปร
3. ค่าความจริงที่เป็น ” จริง ” จะเขียนแทนด้วย ” T ”
4. ค่าความจริงที่เป็น” เท็จ” จะเขียนแทนด้วย ” F ”

• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”
• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x” Share this:

ประโยคเปิด และ ตัวบ่งปริมาณ
ประโยคเปิด
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร โดยเมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกใน
เอกภพสัมพัทธ์ ประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์

สัญลักษณ์
ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร ใช้สัญลักษณ์ P(x), Q(x),…
***ประโยคเปิด ใช้ตั้วเชื่อมต่างๆ (∧,∨,→,↔) และ นิเสธ (∼) ได้เหมือนกับที่ใช้กับประพจน์

ตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว
กำหนดให้ U คือ เอกภพสัมพัทธ์
∀x[P(x)] หมายถึง สมาชิกทุกตัว (แต่ละตัว) ในเอกภพสัมพัทธ์
แทนค่าใน x ของประโยคเปดิ P(x)
∃x[P(x)] หมายถึง สมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ในเอกภพสัมพัทธ์
แทนค่าใน x ของประโยคเปดิ P(x)
∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง
เมื่อ สมาชิกทุกตัว(แต่ละตัว)ในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าใน P(x) แล้วเป็นจริง
∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าใน P(x) แล้วเป็นเท็จ
∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง
เมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าใน P(x) แล้วเป็นจริง
∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เมื่อ ไม่มีสมาชิกตัวใดเลยในเอกภพสัมพัทธที่แทนค่าใน P(x) แล้วเป็นจริง

สูตรนี้ออกสอบบ่อยมาก!!!
∼ ∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼ P(x)]
∼ ∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼ P(x)]

รู้ไว้นะ!!!
กำหนดให้ P(x) คือ 3x ≥ 2 จะได้ ∼ P(x) คือ 3x < 2

ตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว
กำหนดให้ U คือ เอกภพสัมพัทธ์
มีทั้งหมด 8 แบบ
1) ∀x∀y[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
2)∀x∃y[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
3)∃ x∀y[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
4)∃ x∃y[P(x, y)] เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วเป็นจริง
5) ∀y∀x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง
6)∀ y∃x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำแต่ละตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง
7) ∃y∀x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำทุกตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง
8)∃y∃x[P(x, y)]เป็น จริง
เมื่อ นำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้วสามารถนำอย่างน้อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วเป็นจริง

สูตรนี้ออกสอบบ่อยมาก!!!
∼ ∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼ P(x, y)]
∼ ∃x∃y[P(x, y)] ≡ ∀x∀y[∼ P(x, y)]
∼ ∀x∃y[P(x, y)] ≡ ∃x∀y[∼ P(x, y)]
∼ ∃x∀y[P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼ P(x, y)]

สิ่งที่น่าสนใจ
∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∀y∀x[P(x, y)]
∃x∃y[P(x, y)] ≡ ∃y∃x[P(x, y)]