ปริภูมิในสามมิติ(Three-dimensional space)

ในปริภูมิ 3มิติ ประกอบด้วยระนาบ 3 ระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ซึ่งรอยตัดของแต่ละคู่ระนาบจะเกิดเป็นเส้นตรง
ดังนั้นจึงมีเส้นตรง 3 เส้นเกิดขึ้นซึ่งเส้นตรงแต่ละเส้นก็จะตั้งฉากซึ่งกันและกันด้วยและเส้นตรงทั้ง 3 จะตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเป็นจุดเดียวกันกับที่ระนาบทั้ง 3 ตัดกันเรียกจุดดังกล่าวว่า จุดกำเนิด(origin) และเรียกเส้นตรงทั้ง 3 ว่า แกนพิกัด(coordinate axes)ซึ่งแกนทั้ง 3 จะมีทิศทางเป็นบวกหรือลบโดยวัดจากจุดกำเนิดไปตามแต่ละแกนในทิศใดทิศหนึ่งโดยให้ทิศที่ใช้หัวลูกศรแสดงทิศทางบวกและตรงข้ามหัวลูกศรมีทิศทางลบ
การกำหนดชื่อแกนพิกัดของปริภูมิ 3 มิติที่นิยมกันมี 2 ระบบเรียกว่า ระบบมือขวา กับ ระบบมือซ้าย
กล่าวคือระบบมือขวาจะใส่ชื่อแกน $x$ แกน $y$ และ แกน $z$ ทางด้านบวก ถ้าเราใช้มือขวากำมือจาก แกน $x$ ด้านบวก ไป แกน $y$ ทางด้านบวก แล้ว แกน $z$ ด้านบวกจะมีทิศทางไปตามนิ้วหัวแม่มือ ดังรูป ส่วนระบบมือซ้ายก็ทำนองเดียวกันเพียงแต่ใช้มือซ้ายแทน
ในที่นี้จะใช้ ระบบมือขวา

• เรียกระนาบที่ผ่านแกน $x$ และ แกน $y$ ว่าระนาบ $xy$

• เรียกระนาบที่ผ่านแกน $x$ และ แกน $z$ ว่าระนาบ $xz$

• เรียกระนาบที่ผ่านแกน $y$ และ แกน $z$ ว่าระนาบ $yz$

จุด $P$ ในปริภูมิ 3 มิติ จะแทนด้วย สามสิ่งอันดับใน $R^3$ ด้วยสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ซึ่งเรียกว่า พิกัดฉาก ของจุด $P$ ก็ต่อเมื่อ $x,y,z$ เป็นระยะที่มีทิศทางตามแนว แกน $x$ แกน $y$ และ แกน $z$ ตามลำดับของจุด $P$ ไปยัง ระนาบ $yz$ ระนาบ $xz$ ระนาบ $xy$ ตามลำดับ โดยที่

• ถ้าวัดตามแนวพิกัดทางบวก ค่าพิกัดตามแนวแกนพิกัดนั้นจะมีค่าป็นบวก

• ถ้าวัดตามแนวพิกัดทางลบ ค่าพิกัดตามแนวแกนพิกัดนั้นจะมีค่าป็นลบ

เรียก ค่า $x$ ค่า $y$ และ ค่า $z$ ว่า พิกัด $x(x-coordinate)$ พิกัด $y(y-coordinate)$ และ พิกัด $z(z-coordinate)$
ในทำนองเดียวกันสามสิ่งอันดับ $(a,b,c)$ ใน $R^3$ จะสามารถหาจุดเพียงจุดเดียวในปริภูมิ 3 มิติที่ พิกัด $x=a$ พิกัด $y=b$ และ พิกัด $z=c$
นั่นคือสามสิ่งอันดับใน $R^3$ สามารถแทนได้ด้วยจุดในปริภูมิ 3 มิติ เพียงจุดเดียว
ปริภูมิ 3 มิติจะถูกแบ่งบริเวณเป็น 8 ส่วนเรียกว่า อัฐภาค ส่วนที่ 1 คือส่วนที่พิกัด $x$ พิกัด $y$ และ พิกัด $z$ มีค่าเป็น บวก

ตัวอย่าง

จงเขียนจุด A (1,3,0) , B(2,0,3), C(-1,-2,4)
ในที่นี้เราจะศึกษา ความสัมพันธ์บน $R^3$ ที่มีสมการแสดงความสัมพันธ์ในรูป

• • • สมการ3ตัวแปรดีกรี 1

  คือ

$Ax+By+Cz+D=0$

•  เมื่อ

$A,B,C,D$

• •  เป็นจำนวนจริง

  • • สมการ3ตัวแปรดีกรี 2

  คือ

$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dx+Ey+Fz+G=0$

•  เมื่อ

$A,B,C,D,E,F,G$

•  เป็นจำนวนจริง โดยที่

$A,B,C$

•  ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

• ซึ่งเป็นกรณีเฉพราะของสมการ 3 ตัวแปรดีกรี 2 ทั่วไปคือ

$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0$

•  เมื่อ

$A,B,C,D,E,F$

 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

จากสมการ 3 ตัวแปรดีกรี 1 และสมการ3ตัวแปรดีกรี 2 สามารถเขียนในรูปทั่วไปได้เป็น $F(x,y,z)=0$ เมื่อ $F(x,y,z)$ เป็นฟังก์ชันของ 3 ตัวแปร $x,y,z$ และสมาชิกของความสัมพันธ์บน $R^3$ สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนปริภูมิ 3 มิติ ซึ่งจะเรียกว่ากราฟ ของ ผิวของความสัมพันธ์
ดังนั้นเราจะใช้กราฟของพื้นผิวของความสัมพันธ์เพื่ออธิบายคุณลักษณะต่างๆของความสัมพันธ์ที่มีสมการแสดงความสัมพันธ์ คือ $F(x,y,z)=0$
ในการเขียนกราฟพื้นผิวบนปริภูมิสามมิติที่กำหนดโดยสมการ $F(x,y,z)=0$ จะพิจารณาสิ่งสำคัญต่างๆดังนี้

• • • พิจารณาจุดตัดแกนพิกัด

  ได้แก่

  • • • จุดตัดแกน $x$

    โดยการหาค่า

$x$

• •  จากสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อกำหนดให้

$y=0$

• •  และ

$z=0$

• • • • จุดตัดแกน $y$

    โดยการหาค่า

$y$

• •  จากสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อกำหนดให้

$x=0$

• •  และ

$z=0$

• • • • จุดตัดแกน $z$

    โดยการหาค่า

$z$

• •  จากสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อกำหนดให้

$x=0$

• •  และ

$y=0$

• • • พิจารณาภาคตัดขวางบนระนาบพิกัด

  ได้แก่

  • • • ภาคตัดขวางบนระนาบ $xy$

    พิจารณากราฟบนสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อ

$z=0$

• • • • ภาคตัดขวางบนระนาบ $xz$

    พิจารณากราฟบนสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อ

$y=0$

• • • • ภาคตัดขวางบนระนาบ $yz$

    พิจารณากราฟบนสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อ

$x=0$

• • • พิจารณารอยภาคตัดขวางบนระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

  ให้

$k$

• •  เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วพิจารณา

  • • • ภาคตัดขวางบนระนาบ $z=k$

    พิจารณากราฟบนสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อ

$z=k$

• • • • ภาคตัดขวางบนระนาบ $y=k$

    พิจารณากราฟบนสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อ

$y=k$

• • • • ภาคตัดขวางบนระนาบ $x=k$

    พิจารณากราฟบนสมการ

$F(x,y,z)=0$

• •  เมื่อ

$x=k$

• • ทดสอบการสมมาตร

    • • สมมาตรกับจุดกำเนิด

    เมื่อ

$F(-x,-y,-z)=F(x,y,z)$

• • • สมมาตรกับแกนพิกัด

      • • กราฟจะสมมาตรกับแกน x

      เมื่อ

$F(x,-y,-z)=F(x,y,z)$

• • • • • กราฟจะสมมาตรกับแกน y

      เมื่อ

$F(-x,y,-z)=F(x,y,z)$

• • • • • กราฟจะสมมาตรกับแกน z

      เมื่อ

$F(-x,-y,z)=F(x,y,z)$

• • • สมมาตรกับระนาบพิกัด

      • • กราฟจะสมมาตรกับระนาบ $xy$

      เมื่อ

$F(x,y,-z)=F(x,y,z)$

• • • • • กราฟจะสมมาตรกับระนาบ $xz$

      เมื่อ

$F(x,-y,z)=F(x,y,z)$

• • • • • กราฟจะสมมาตรกับระนาบ $yz$

      เมื่อ

$F(-x,y,z)=F(x,y,z)$