การวิเคราะห์พฤติกรรมต่าง ๆในธรรมชาตินั้น หากต้องการศึกษาระบบในธรรมชาติโดยใช้วิธีการเชิงประจักษ์ที่ซึ่งอาศัยการสังเกตและทำการทดลอง ระเบียบวิธีขั้นต้นเราเริ่มจากการกำหนดตัวแปรต้นคืออินพุตที่เราป้อนเข้าสู่ระบบ จากนั้นกำหนดตัวแปรตามคือเอาท์พุตค่าที่ได้จากการสังเกต ปัจจัยอื่น ๆที่อาจส่งผลต่อระบบจะต้องควบคุมให้คงที่เราเรียกตัวแปรนี้ว่าตัวแปรควบคุม หากความสัมพันธ์ของตัวแปรต้นและตัวแปรตามมีลักษณะเป็นแบบ one to one หรือ many to one แล้วเราสามารถอธิบายระบบนี้ได้ด้วยฟังก์ชัน เนื้อหาบทนี้จึงเป็นการศึกษาฟังก์ชันที่เน้นไปที่พฤติกรรมของฟังก์ชันเช่นพฤติกรรมการเพิ่ม การลด ความสมมาตร ความสัมพันธ์เหล่านี้จะเป็นรูปธรรมมากขึ้นเพื่อนำมาสร้างเป็นกราฟในเรขาคณิต ในปัจจุบันมีซอฟต์แวร์มากมายที่ช่วยในการสร้างกราฟ แต่สิ่งสำคัญคือการเข้าใจคุณสมบัติและพฤติกรรมโดยจะเราจะทำการศึกษาเพียงฟังก์ชันพีชคณิต เพื่อเป็นรากฐานในการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นต่อไป
- ฟังก์ชัน
ดังที่กล่าวมาข้างต้นถ้าความสัมพันธ์ของอินพุตและเอาท์พุตเป็นฟังก์เราสามารถสร้างเป็นฟังก์ชันเพื่ออธิบายพฤติกรรมต่างในธรรมชาติได้ การวิเคราะห์พฤติกรรมอย่างง่ายในเชิงปริมาณเช่น พฤติกรรมมีลักษณะเพิ่มขึ้น ลดลง หรือ คงที่ สำหรับกรณีคงที่นั้นหมายความว่าอินพุตไม่ส่งผลอะไรต่อเอาท์พุต หากเราสมมติให้ x เป็นอินพุต และ y เป็นเอาท์พุต ฟังก์ชันจะคงที่นั้นหมายความว่าไม่ว่า x จะเป็นค่าใดค่า y ย่อมมีค่าเท่าเดิมเสมอแสดงได้ดังตารางต่อไปนี้
ตารางที่ 1 ลักษณะข้อมูลของฟังก์ชันคงที่เมื่อกำหนดอินพุตเป็น {-7,-2,0,2,5}
| X | -7 | -2 | 0 | 2 | 5 |
| Y | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
ถ้าทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชันทำให้ y มีค่าเป็น 4 เสมอเราสามารถเขียนฟังก์ชันได้ด้วย
f(x) = 4
เมื่อพิจารณาพฤติกรรมตารางที่ 2
ตารางที่ 2 ลักษณะข้อมูลของฟังก์ชันเพิ่มและลดเมื่อกำหนดอินพุตเป็น {-7,-2,0,2,5}
| X | -7 | -2 | 0 | 2 | 5 |
| W | 5 | 8 | 9 | 13 | 15 |
| Z | 5 | 4 | 0 | -1 | -5 |
จะพบว่าความสัมพันธ์ของ x และ w มีแนวเพิ่มขึ้นเนื่องจากเมื่ออินพุต x เพิ่มส่งผลให้ค่าเอาท์พุต w เพิ่มขึ้น ในทางกลับกันจะพบว่า x และ z มีลักษณะลดนั้นคือเมื่อ x เพิ่มขึ้นค่า y กลับมีค่าลดลง เราจะอธิบายพฤติกรรมการเพิ่มและการลดด้วยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้
- ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
เราจะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่ออินพุตเพิ่มแล้วค่าเอาท์พุตเพิ่มด้วยเช่นกันและจะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันลดถ้าอินพุตเพิ่มแต่เอาท์พุตลด ถ้าเราสมมติให้ x1 และ x2 เป็นอินพุตโดยที่ x2 > x1 เมื่อพิจารณาเอาท์พุต f(x1) และ f(x2) กรณีที่ f(x2) > f(x1) นั้นคือเอาท์พุตเพิ่ม เราจะสรุปว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม แต่ถ้า f(x2) < f(x1) เราจะสรุปว่าเป็นฟังก์ชันลด ข้อสรุปนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเราทำการตรวจสอบทุกค่าบนโดเมนเขียนเป็นนิยามที่รัดกุมได้ดังนี้
f เป็นฟังก์ชันเพิ่มก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก x1 และ x2 ในโดนเมนของฟังก์ชันถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) < f(x2)
f เป็นฟังก์ชันลดก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก x1 และ x2 ในโดนเมนของฟังก์ชันถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) > f(x2)
f ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มก็ต่อเมื่อ มี x1 และ x2 ในโดนเมนของฟังก์ชันโดยที่ x1 < x2 แต่ f(x1) >= f(x2)
f ไม่เป็นฟังก์ชันลดก็ต่อเมื่อ มี x1 และ x2 ในโดนเมนของฟังก์ชันโดยที่ x1 < x2 แต่ f(x1) <= f(x2)
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ f(x) = x2 มีโดเมนคือ [0,5] จะแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ให้ x1 และ x2 เป็นจำนวนใด ๆที่อยู่ใน [0,5] โดยที่ x1 < x2
ในกรณีที่ 0 = x1 < x2 เห็นได้ชัดเจนว่า f (x1) < f(x2)
ในกรณีที่ 0 < x1 < x2 < 5 นำ x1 และ x2 คูณอสมการ โดยคุณสมบัติของอสมการการคูณด้วยจำนวนบวกจะได้
(x1)2 < (x2)(x1) และ (x2)(x1) < (x2)2
โดยสมบัติถ่ายทอดจะได้ว่า (x1)2 < (x2)2 จะเห็นว่า f(x1) < f(x2)
สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) = x2 มีโดเมนคือ [-5,0] จะแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันลด ให้ x1 และ x2 เป็นจำนวนใด ๆที่อยู่ใน [-5,0] โดยที่ x1 < x2
ในกรณีที่ -5 < x1 < x2 = 0 เนื่องจาก x เป็นจำนวนลบเมื่อยกกำลังสองแล้วจะเป็นจำนวนบวกดังนั้น f (x1) > f(x2)
ในกรณีที่ -5 < x1 < x2 < 0 นำ x1 และ x2 คูณอสมการ โดยคุณสมบัติของอสมการการคูณด้วยจำนวนลบจะได้
(x1)2 > (x2)(x1) และ (x2)(x1) > (x2)2
โดยสมบัติถ่ายทอดจะได้ว่า (x1)2 > (x2)2 จะเห็นว่า f(x1) > f(x2)
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ f(x) = x2 มีโดเมนคือ [-5,5] จะแสดงว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เลือก x1 = -2 และ x2 = 2 พบว่า x1 < x2 พิจารณา f(x1) = (x1)2 = 4 และ f(x2) = (x2)2 = 4 พบว่า f(x1) ไม่น้อยว่า f(x2) นั้นคือ f(x1) >= f(x2) ในทำนองเดียวกันดังสรุปได้อีกว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันลด เนื่องจาก f(x2) ไม่มากกว่า f(x1) เช่นเดียวกัน
- ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่
ในบางครั้งพฤติกรรมในธรรมชาตินั้นอาจจะมีลักษณะสมมาตร ณ จุดสังเกต (เส้นสมมาตร) กล่าวคือพฤติกรรมทางขวาและพฤติกรรมทางซ้ายอาจมีลักษณะเดียวกัน (สมมาตร) หรือ ตรงข้ามกัน (ปฏิสมมาตร) เป็นต้นเช่น ตารางที่ 3 กำหนดให้ x = 0 เป็นจุดสังเกต (x = 0 เป็นเส้นสมมาตร)
ตารางที่ 3 ลักษณะข้อมูลของฟังก์ชันสมมาตรและปฏิสมมาตรเมื่อกำหนดอินพุตเป็น {-5,-2,0,2,5}
| X | -5 | -2 | 0 | 2 | 5 |
| W | 25 | 4 | 1 | 4 | 25 |
| Z | -25 | -4 | 1 | 4 | 25 |
สังเกตความสัมพันธ์ของ x และ w พบว่า w(0) = 1, w(-2) = w(2), w(-5)=w(5) สำหรับความสัมพันธ์ของ x และ z พบว่า z(0) = 1, z(-2) = -z(2), z(-5) = -z(5) ถ้าฟังก์ชันมีพฤติกรรมในลักษณะเดียวกันนี้ตลอดโดเมน เราจะกล่าวว่า w เป็นฟังก์ชันคู่ และ z เป็นฟังก์ชันคี่ตามลำดับ นิยามในเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังนี้
f เป็นฟังก์ชันคู่ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก x ในโดนเมนของฟังก์ชัน f(-x) = f(x)
f เป็นฟังก์ชันคี่ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก x ในโดนเมนของฟังก์ชัน f(-x) = -f(x)
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = 7x2 โดยที่ x เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันคู่ พิจารณา
f(-x) = 7(-x)2 = 7x2 = f(x)
สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันคู่
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = -x3 โดยที่ x เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันคี่ พิจารณา
f(-x) = -(-x)3 = -(-x3 )= -f(x)
สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันคี่
พีชคณิตของฟังก์ชัน (Agebra Of Function)
พีชคณิตของฟังก์ชันเป็นการนำฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปมา บวก ลบ คูณ หารกัน เพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่
นิยาม กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง
f+g = {(x,y)|y= f(x)+g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
f-g = {(x,y)|y= f(x)-g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
f.g = {(x,y)|y= f(x).g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
f/g = {(x,y)|y= f(x)/g(x) และ x∈ D f ∩ Dg }
ตัวอย่างที่1 f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}
g ={(1,4),(2,9),(3,10),(7,11)}
จงหา f+g , f-g , f.g , f/g
วิธีทำ
f+g = {(1,6),(3,14),(7,19)}
f – g = {(1,-2),(3,-6),(7,-3)}
f . g = {(1,8),(3,40),(7,88)}
f /g = {(1,1/2),(3,2/5),(7,8/11)}
ตัวอย่างที่2 กำหนด f(x) = 3x-5 , g(x) = x2_ 4
จงหา f+g , f-g , f.g , f/g
วิธีทำ
f+g(x) = (3x-5)+( x2_ 4) = x2+3x-9
f – g(x) = (3x-5) – ( x2_ 4) = –x2+3x-1
f . g(x) = (3x-5)( x2_ 4) = 3x3_5x2_12x+20
f / g (x) = (3x-5)/( x2_ 4) , x ≠ 2,-2
D f = R , R f = R
D f +g = D f -g = D f . g = D f ∩ Dg = R
D f /g = D f ∩ Dg
และ g(x) ≠ 0 = R-{2,-2}
ตัวอย่างที่ 3 กำหนด f(x) = x2_ 4 , D f = [-3,3]
g(x) = 2x-1 , D f = [-1,4]
จงหา (f-g)(x) และ D f -g , R f -g
วิธีทำ (f-g)(x) = (x2_ 4) – (2x-1)
= x2– 2x-3
D f -g = D f ∩ Dg = [-1,3]
หา R f -g จาก (f-g)(x) = x2– 2x-3 = (x-1)2 – 4
-1 ≤ x ≤ 3
-2 ≤ x-1 ≤ 2
0 ≤ (x-1)2 ≤ 4
-4 ≤ (x-1)2-4 ≤ 0
R f -g = [-4,0]
