พีชคณิตระดับม.ต้น

  พีชคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

1.1 จำนวนจริง

ตัวเลขเป็นสัญลักษณ์ที่มนุษย์ใช้แทนปริมาณต่างที่มีอยู่ในธรรมชาติ ในยุคเริ่มแรกเรารู้จักจำนวนที่มีลักษณะเต็มหน่วยที่เป็นปริมาณเชิงประจักษ์ในธรรมชาติ ชุดจำนวนเหล่านี้ถูกนำมารวมกันเป็นเซตเรียกว่าเซตจำนวนนับ (Natural numbers) ต่อมามีการกำหนดเลขศูนย์ และจำนวนตรงกันข้ามกับจำนวนนับ จึงเรียกจำนวนสามกลุ่มนี้ใหม่ว่า จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มศูนย์ และจำนวนเต็มลบ เกิดเป็นเซตจำนวนเต็ม ต่อมามีการศึกษาปริมาณเชิงสัดส่วน (Ratio) ที่เกิดจากการแบ่งในลักษณะการหารกันระหว่างจำนวนเต็ม รวมถึงการการหาผลหารที่อยู่รูปทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบชนิดทศนิยมซ้ำ เมื่อผนวกกับระบบจำนวนที่มีก่อนหน้าเราเรียกเซตจำนวนกลุ่มนี้ว่าเซตจำนวนตรรกยะ (Rational numbers) สำหรับจำนวนที่อยู่นอกเหนือจากจำนวนตรรกยะเรียกว่าเซตจำนวนอตรรกยะ ผลผนวกสุดท้ายทำให้เราได้เซตจำนวนที่เรียกว่าเซตจำนวนจริง ระบบจำนวนจริงนี้สามารถอธิบายเป็นภาพด้วยเส้นจำนวนแสดงการจัดเรียงอันดับ และการวัดระยะระหว่างตำแหน่งสองตำแหน่งเมื่อเราแทนตำแหน่งด้วยจุดบนเส้นจำนวน

1.1.1 เซตจำนวนจริง

จากที่กล่าวมาข้างต้นเซตจำนวนนับเป็นชุดตัวเลขชุดแรกสุดที่มนุษย์สัมผัสได้ การมีอยู่ของจำนวนนับจึงเป็นสัจพจน์ เรียกว่าสัจพจน์ของเปอาโนว่าด้วยการมีอยู่ของยูนิตแทนด้วยสัญลักษณ์ 1 และพจน์ตามของ 1 (1*) แทนด้วย 2 ซึ่งมีเพียงพจน์เดียว โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ทำให้ได้ 3, 4, 5,… เกิดเป็นเซตจำนวนนับนั้นคือ

เซตของจำนวนนับ N = { 1, 2, 3, … }

หากเราพิจารณาการบวกด้วย 1 จะพบว่า

a + 1 = a* และ a + 1* = a + 1 + 1 = (a + 1)*

พิจารณา

3 + 2 = 3 + 1* = (3+1)* = 4* = 5

การบวกด้วย 2 จึงเป็นการเพิ่มที่ละ 1 จำนวนสองครั้ง เป็นที่ทราบกันดีว่าการเพิ่มทำให้ปริมาณเพิ่มขึ้น และการลดทำให้ปริมาณลดลง คำถามที่น่าสนใจคือการเพิ่มที่ทำให้ปริมาณยังคงเท่าเดิม และการเพิ่มที่ทำให้ปริมาณมีค่าน้อยลงคือจำนวนใดในเซตของจำนวนนับ { 1, 2, 3, … } ซึ่งพบว่าเซตดังกล่าวไม่มีเพียงต่อการตอบคำถามว่า 1 + x = 1 แล้ว x คือจำนวนใด จึงมีการเพิ่มจำนวนศูนย์ { 0 } ซึ่งใช้อธิบายตัวบวกที่ทำให้ผลบวกยังคงมีค่าเท่าเดิมเรียกว่าเอกลักษณ์การบวก เมื่อรวม 0 เข้าในไปเซตจำนวนนับจะได้จำนวนทั้งหมด

          W = {0,1,2,…}

สำหรับตัวเพิ่มที่ทำให้มีค่าลดลงเป็นศูนย์คือถ้า 1 + x = 0 แล้ว x เป็นจำนวนใดเราจึงสร้าง (-1) เมื่อตอบคำถามที่ว่า 1 + (-1) = 0 ในทำนองเดียวกัน 2 + x = 0 จึงมี -2 ดังนั้นสำหรับ  {1,2,3,…} จะต้องสร้างกลุ่มจำนวน

{-1,-2,-3, ….} เป็นเซตของจำนวนตรงกันข้ามกับ {1,2,3,…}

เมื่อนำชุดตัวเลขมารวมกันจะได้ {…,-2,-1,0,1,2,…} เป็นเซตจำนวนเต็มจำแนกเป็น 3 กลุ่มได้แก่

เซตจำนวนเต็ม             R = {…,-2,-1,0,1,2,…}

เซตจำนวนเต็มบวก        R⁺ = {1,2,3,…}

เซตจำนวนเต็มศูนย์       R⁰ = {0}

เซตจำนวนเต็มลบ         R^– = {-1,-2,-3,…}

พีชคณิตพื้นฐาน

บทเรียนนี้มีวัตถุประสงค์ให้นักเรียนเข้าใจหลักการและแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิต ซึ่งเป็นความรู้พื้นฐานที่สำคัญสำหรับนำไปต่อยอดการเรียนคณิตศาสตร์เรื่องอื่นอีกหลายเรื่องในระดับชั้นมัธยม สำหรับนักเรียนชั้น ป.6 ความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิตจะช่วยให้นักเรียนเข้าใจเรื่อง ‘สมการ‘ ได้ดียิ่งขึ้น โดยเฉพาะเทคนิคต่าง ๆ เกี่ยวกับการแก้สมการ เพราะสมการเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิต ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิตจึงเป็นสิ่งจำเป็นที่นักเรียนต้องเข้าใจก่อน จึงสามารถนำสมการไปใช้เป็นเครื่องมือสำหรับหาคำตอบของโจทย์ปัญหาต่าง ๆ

พีชคณิต
พีชคณิตเป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่ง ที่ช่วยให้การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทำได้ง่ายขึ้น พีชคณิตใช้ตัวอักษรแทนสิ่งที่ไม่รู้ค่า เรียกตัวอักษรนั้นว่าตัวแปร โจทย์ปัญหาที่มีความซับซ้อนสามารถหาคำตอบได้ง่ายขึ้นโดยแปลงโจทย์เลขที่อยู่ในรูปคำบรรยายเป็นประโยคสัญลักษณ์หรือสมการ แล้วหาคำตอบโดยวิธีแก้สมการ

การแทนสิ่งที่ไม่รู้ค่าด้วยตัวอักษรแล้วแปลงคำบรรยายของโจทย์เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือหลักการสร้างประโยคสัญลักษณ์ หลักการนี้เป็นหลักการเดียวกับการ สร้างสูตรคำนวณสำหรับใช้ในงานต่าง ๆ เช่น งานการเงิน งานวิศวกรรม งานเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ การใช้สูตรต่าง ๆ ล้วนมีพื้นฐานมาจากพีชคณิต การเข้าใจพื้นฐานของพีชคณิตจึงเป็นสิ่งสำคัญเพราะเป็นพื้นฐานสำหรับนำไปต่อยอดการเรียนในแขนงต่าง ๆ

ตัวแปร
ตัวแปรคือตัวอักษรที่ใช้แทนจำนวนที่ไม่รู้ค่า เมื่อนำตัวแปรมาใช้ในการคำนวณหาคำตอบ จะได้คำตอบแตกต่างกันไปตามค่าของตัวแปร

ขนมโดนัทราคาชิ้นละ 7 บาท ซื้อขนมโดนัท 2 ชิ้น จ่ายเงินกี่บาท ? ➬ 7 x 2 = 14 บาท
ขนมโดนัทราคาชิ้นละ 7 บาท ซื้อขนมโดนัท 3 ชิ้น จ่ายเงินกี่บาท ? ➬ 7 x 3 = 21 บาท
ขนมโดนัทราคาชิ้นละ 7 บาท ซื้อขนมโดนัท 4 ชิ้น จ่ายเงินกี่บาท ? ➬ 7 x 4 = 28 บาท

เงินค่าขนมโดนัทจาก 3 ตัวอย่างนี้แตกต่างกันตามจำนวนชิ้นที่ซื้อ
โดนัททุกชิ้นราคาเท่ากันคือ 7 บาท สิ่งที่เปลี่ยนไปคือจำนวนชิ้น
จำนวนชิ้นที่เพิ่มขึ้นทำให้ต้องจ่ายเงินเพิ่มขึ้น

เรียก ‘ 7 บาท ‘ ว่า ‘ค่าคงที่‘ เพราะค่าไม่เปลี่ยน ขนมโดนัททุกชิ้นราคาคงที่ 7 บาท
เรียก ‘ 2 ชิ้น ‘, ‘ 3 ชิ้น ‘, ‘ 4 ชิ้น ‘ ว่า ‘ตัวแปร‘ เพราะค่าแปรเปลี่ยนไป
จำนวนเงินที่ต้องจ่ายเปลี่ยนไปตาม ‘ตัวแปร’ (จำนวนชิ้น)
ถ้าไม่รู้ว่าซื้อโดนัทกี่ชิ้น จะคำนวณจำนวนเงินที่ต้องจ่ายไม่ได้
แต่สามารถแสดงวิธีคำนวณได้ ในลักษณะของสูตร

ใช้ N เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนชิ้นที่ซื้อ

จำนวนเงินที่ต้องจ่าย = 7 x N

N คือตัวแปร
จำนวนเงินที่ต้องจ่ายเปลี่ยนไปตามค่าของ N
ถ้า N มีค่าเป็น 5

จำนวนเงินที่ต้องจ่าย = 7 x 5 = 35 บาท

สัญลัษณ์แทนการคูณ

การคำนวณเลขใช้สัญลักษณ์ x แทนการคูณ เช่น 4 x 5 = 20
เนื่องจากสัญลักษณ์ x ที่ใช้แทนการคูณ มีหน้าตาเหมือนตัวอักษรเอ็กซ์ในภาษาอังกฤษ เมื่อนำตัวอักษรเอ็กซ์มาใช้เป็นตัวแปร จึงเกิดความสับสน เพราะแยกความแตกต่างไม่ได้ระหว่าง x ที่เป็นสัญลักษณ์แทนการคูณ กับ x ที่เป็นตัวอักษรเอ็กซ์ จึงไม่ใช้ x แทนการคูณในพีชคณิต

สัญลักษณ์แทนการคูณในพีชคณิตมี 3 แบบ

วางตัวเลขและตัวอักษรอยู่ติดกัน
เช่น 7N หมายถึง 7 คูณ N
7xN ตามตัวอย่างที่ผ่านมา เป็นวิธีเขียนให้สอดคล้องกับความคุ้นเคยของนักเรียนที่ยังไม่ได้เรียนพีชคณิต แต่ในทางปฏิบัติไม่นิยมเขียนแบบนี้ เพราะอาจทำให้เข้าใจผิดว่า
7xN หมายถึง 7 คูณ x คูณ N
(x คือตัวอักษรเอ็กซ์ ซึ่งมักถูกใช้เป็นสัญลักษณ์แทนตัวแปร )

ใช้วงเล็บแทนการคูณ
เช่น 7(N) หรือ (7)(N) หมายถึง 7 คูณ N

ใช้จุดแทนการคูณ
เช่น 7.N หมายถึง 7 คูณ N

แบบที่ 1 และ แบบที่ 3 ไม่ใช้กับกรณีที่ทั้งตัวตั้งและตัวคูณเป็นตัวเลข เพราะทำให้เกิดความสับสน

ตัวอย่างที่ 1

7N หมายถึง 7 คูณ N
เมื่อ N มีค่าเป็น 5
ถ้าแทน N ด้วย 5 ➬ 7N = 75 ?
75 เป็นตัวเลข หมายถึง เจ็ดสิบห้า ไม่ใช่ 7 คูณ 5
ในกรณีนี้ให้ใช้เครื่องหมายวงเล็บแทนการคูณ
7N = 7(5) = 35

ตัวอย่างที่ 2

7.N หมายถึง 7 คูณ N
เมื่อ N มีค่าเป็น 5
ถ้าแทน N ด้วย 5 ➬ 7.N = 7.5 ?

7.5 เป็นตัวเลข หมายถึง 7.

1/5

ไม่ใช่ 7 คูณ 5

ในกรณีนี้ให้ใช้เครื่องหมายวงเล็บแทนการคูณ
7.N = 7(5) = 35