พีระมิด กรวย และทรงกลม

3.1 ปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด

3.2 ปริมาตรและพื้นที่ผิวของกรวย

3.3 ปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลม

พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด 

ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน เรียกว่า พีระมิด  การเรียกชื่อพีระมิด นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยม เป็นต้น

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง  การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้เสียก่อน  การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ตัวอย่างที่ 1  พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง

 วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว

ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC

AB² = 12² + 5²

AB² = 144 + 25

AB² = 169

AB = 13

ตอบ สูงเอียงยาว 13 นิ้ว

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด     พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

พื้นที่ผิวของพีระมิด           พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

ปริมาตรของพีระมิด           ปริมาตรของพีระมิด = ¹/₃ × พื้นที่ฐาน × สูง

ตัวอย่างที่ 2  พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวข้างพีระมิด

วิธีทำ   เนื่องจาก สูตรพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ ×ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

            แต่โจทย์ไม่กำหนดความยาวสูงเอียง  ดังนั้น ต้องหาความยาวสูงเอียงก่อน

ขั้นที่ 1 หาสูงเอียง
ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว, และ AB เป็นความสูงเอียง

            BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว

ตามทฤษฎีปีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC

AB² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

จะได้     AB = 13

ดังนั้นสูงเอียงยาว 13 นิ้ว

ขั้นที่ 2 หาพื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน ×สูงเอียง

พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ × ( 10 + 10 + 10 + 10 ) × 13

= ½ × 40 × 13

= 260 ตารางนิ้ว

ตอบ 260 ตารางนิ้ว

ตัวอย่างที่ 3  จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

วิธีทำ            ปริมาตรของพีระมิด = ¹/₃ × พื้นที่ฐาน × สูง

ปริมาตรของพีระมิดนี้ = ¹/₃ × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง

= ¹/₃ × ( 22 × 22 ) × 15

= 22 × 22 × 5

= 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 2,420 ลบ.ซม.

พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งคู่อยู่ในแนวระนาบที่ขนานกันและด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม  การเรียกชื่อปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึม นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

พื้นที่ผิวข้างของปริซึม       พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

พื้นที่ผิวของปริซึม            พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

ปริมาตรของปริซึม            ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

ตัวอย่างที่ 4  จงหาพื้นที่ผิวของแท่งปริซึมสามเหลี่ยมนี้

วิธีทำ   จากสูตร พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

ขั้นที่ 1 หาพื้นที่ผิวข้าง

จากสูตร พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ความยาวรอบฐาน ×ความสูง

จาก ทบ.ปีทาโกรัส เมื่อพิจารณาที่หน้าตัดแล้ว

จะได้ว่า ความยาวของหน้าตัด ด้านที่โจทย์ยังไม่ได้กำหนด ยาว = 10 หน่วย

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ( 6 + 8 + 10 ) × 12

= 288 ตารางหน่วย

ขั้นที่ 2 หาพื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

จากสูตร พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2 × พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม

= 2 × (½ × ฐาน × สูง)

= 1 × 6 × 8

= 48

ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 48 ตารางหน่วย

ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวทั้งหมด

จากสูตร พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

= 288 + 48

= 336 ตารางหน่วย

ตอบ 336 ตารางหน่วย

ตัวอย่างที่ 5  จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้

วิธีทำ   สูตร พื้นที่ฐานปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง

= 1/2 × (7 + 13) × 9

= 90 ตารางหน่วย

สูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

= 90 × 24

= 2,160 ลูกบาศก์หน่วย

ตอบ 2,160 ลูกบาศก์หน่วย

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้ง อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระย

เท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม  จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม และระยะทางที่เท่ากันนั้น เรียกว่า รัศมีของทรงกลม

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม             พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4¶r²

ปริมาตรของทรงกลม            ปริมาตรของทรงกลม = ⁴/₃¶r³     เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม
ตัวอย่างที่ 6  ขันครึ่งทรงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกปากขันได้ยาว 14 นิ้ว ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่าไร

วิธีทำ      ขันมีรัศมี 7 นิ้ว

พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = 2¶r²

= 2 × ²²/₇ × 7 × 7

= 308 ตารางนิ้ว

ดังนั้น ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่ากับ 308ตารางนิ้ว

ตอบ 308 ตารางนิ้ว

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

ทรงสามมิติใดที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกันเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐาน จะได้หน้าตัดเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกทรงสามมิตินี้ว่า ทรงกระบอก

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

พื้นที่ฐานหรือพื้นที่หน้าตัด            พื้นที่รูปวงกลม = ¶r²

พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก        พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก              พื้นที่ผิวของทรงกระบอก =2¶rh + 2(¶r²)

ปริมาตรของทรงกลม                   ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r²h

เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน และ h แทนความสูงทรงกระบอก

พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

ทรงสามมิติใดที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและเส้นที่เชื่อมต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกทรงสามมิตินั้นว่า กรวย

ความสัมพันธ์ของด้านรัศมี (r) ความสูง (h) และ สูงเอียง (l)

ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า   r² + h² = l²

สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม      พื้นที่ฐาน = ¶r²

พื้นที่ผิวข้างของกรวย        พื้นที่ผิวข้างของกรวย = ¶rl

พื้นที่ผิวของกรวย              พื้นที่ผิวของกรวย = ¶rl + ¶r²

ปริมาตรของปริซึม              ปริมาตรกรวย = ¹/₃¶r²h

เมื่อ r แทนรัศมีกรวย และ h แทนส่วนสูงของกรวย

ตัวอย่างข้อสอบ

1.กรวยใส่ขนมมีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว3 เซนติเมตร สูง 10  เซนติเมตร จงหาความจุของกรวยนี้

วิธีทำ   เนื่องจากสูตรปริมาตร (หรือความจุ) ของกรวย =¹/₃¶r²h

ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหาคือ รัศมี (r) และ ความสูง (h)

แต่โจทย์กำหนดความสูงมาให้แล้ว ก็หาแต่รัศมี

ขั้นที่ 1 หารัศมี

โจทย์กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว 3 ซม.

ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 3 ÷ 2 = 1.5 ซม.

ขั้นที่ 2 หาปริมาตรกรวย

จากสูตร ปริมาตรกรวย = ¹/₃¶r²h

= ¹/₃ × ²²/₇ × (1.5)² × 10

ดังนั้น ปริมาตรกรวย = 35.57 ลบ.ซม.

ตอบ 357 ลบ.ซม.

2.แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้

วิธีทำ   เนื่องจาก พื้นที่ผิวกรวย = ¶rl + ¶r²

ดังนั้น สิ่งที่ต้องหาคือ รัศมีและสูงเอียง (เพื่อจะนำไปแทนค่าลงในสูตรหาพื้นที่ผิวกรวย)

ขั้นที่ 1 หารัศมี

โจทย์กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12ซม.

ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 12 ÷ 2 = 6 ซม.

ขั้นที่ 2 หาสูงเอียง

กำหนดให้สูงเอียง = l ซม.

จากทบ.ปีทาโกรัส จะได้ว่า

r² + h² = l²

6² + 8² = l²

36 + 64 = l²

l² = 100

ดังนั้น l = 10 ซม.

ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวของกรวย

จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = ¶r(l + r)

แทนค่าสูตร จะได้          = ²²/₇ × 6 × (10 + 6)

= ¹³²/⁷ × 16

ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย ≈ 301.71 ตร.ซม.

ตอบ 301.71 ตร.ซม.

พีระมิด