พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4 ตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

• ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
  ในที่นี้คือ h
• ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
• ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จะได้

1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

    sin(A)= ข้าม/ฉาก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

    cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h

3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ

    tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b

4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม

    csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a

5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด

    sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b

6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม

    cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

วิธีจำ

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า

• ข้ามฉาก … sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ชิดฉาก … cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ข้ามชิด … tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กัน ดังนี้

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นดังตารางนี้

จากตาราง ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

sin(-θ) = -sinθ

cos(-θ) = cosθ

③ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้

ฟังก์ชันแทนเจนต์      (Tangent function)     เขียนแทนด้วย tan       (อ่านว่า แทน)

ฟังก์ชันเซแคนต์        (Secant function)       เขียนแทนด้วย sec      (อ่านว่า เซก)

ฟังก์ชันโคเซแคนต์    (Cosecant function)     เขียนแทนด้วย cosec  (อ่านว่า โคเซก)

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์  (Cotangent function)   เขียนแทนด้วย cot       (อ่านว่า คอต)

④ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2πr หน่วยจะมีขนาด 2π เรเดียน

และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน

จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมมรายาว a หน่วย จะได้

θ = a/r

360 องศา เท่ากับ 2π เรเดียน

180 องศา เท่ากับ π เรเดียน

sin = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos = ด้านประชิด / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
tan = ด้านตรงข้าม / ด้านประชิด

⑤ การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle)

เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า :

ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1,0)

จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ เราสามรารถหาจุด (x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น

ถ้า |θ| > 2π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2π หน่วย

เมื่อ (x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น

y = sinθ (อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา)

x = cosθ (อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา)

ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ –1 ถึง 1

นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง ตั้งแต่ –1 ถึง 1

และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กัน ดังนี้

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นดังตารางนี้

จากตาราง ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

sin(-θ) = -sinθ

cos(-θ) = cosθ

③ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้

ฟังก์ชันแทนเจนต์      (Tangent function)     เขียนแทนด้วย tan       (อ่านว่า แทน)

ฟังก์ชันเซแคนต์        (Secant function)       เขียนแทนด้วย sec      (อ่านว่า เซก)

ฟังก์ชันโคเซแคนต์    (Cosecant function)     เขียนแทนด้วย cosec  (อ่านว่า โคเซก)

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์  (Cotangent function)   เขียนแทนด้วย cot       (อ่านว่า คอต)

④ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2πr หน่วยจะมีขนาด 2π เรเดียน

และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน

จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมมรายาว a หน่วย จะได้

θ = a/r

360 องศา เท่ากับ 2π เรเดียน

180 องศา เท่ากับ π เรเดียน

sin = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos = ด้านประชิด / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
tan = ด้านตรงข้าม / ด้านประชิด

 

ทำการหาค่ามุมที่ต้องการทางด้านซ้ายมือของตาราง แล้ว นำมาเทียบกับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวามือของตาราง เป็นอันเสร็จสิ้น

⑥ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

 

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทุกฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic Function)

กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน x ออกเป็นช่วงย่อย (Subinterval) โดยที่ความยาวแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน

และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ (Period)

จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่า

– คาบของกราฟ y = sinx และ y = cosx เท่ากับ 2π

– คาบของกราฟ y = cosecx และ y = secx เท่ากับ 2π

– คาบของกราฟ y = tanx และ y = cotx เท่ากับ π

สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

เราจะเรียกว่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ว่า แอมพลิจูด (Amplitude)

– ฟังก์ชัน y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจูดเป็น 1 เท่ากัน

⑦ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม

การคำนวนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาจเกี่ยวข้องกับมุมที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือผลลบ

สูตรที่สำคัญ มีดังนี้

 ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน (เช่น y = sinx) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่างโดเมนและเรนจ์ตามปรกติ (กลายเป็น x = siny)

แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านี้จะไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะค่า x แต่ละค่านั้น ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่มีที่สิ้นสุด

ดังนั้นหากจะกำหนดอินเวิร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นฟังก์ชันด้วย ก็จำเป็นต้องจำกัดข่วงของเรนจ์ด้วย

นั่นหมายถึง ความหมายของ x = siny และความหมายของ y = arcsinx ไม่เท่ากัน  เนื่องจากเรนจ์ไม่เท่ากัน

เราเรียกฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติโดยใช้คำว่า arc นำหน้า เช่น arcsin arccos arctan เป็นต้น

เอกลักษณ์หนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คือ

ซึ่งเอกลักษณ์นี้สามาถใช้ได้เมื่อ  arctanx +arctany ยังอยู่ในช่วง (-π/2,π/2) เท่านั้น

⑨ เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือการเท่ากันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต่างกัน และเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมุม

เมื่อกำหนด A เป็นขนาดของมุมใดๆ (0 ≤ A ≤ 2π) จะได้

เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ  (0 ≤ x ≤ 2π , 0 ≤ y ≤ 2π) จะได้

⑩ กฎของโคไซน์ และไซน์

กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ cเป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้    

a² = b² + c² – 2bc cosA

b² = c² + a² – 2ca cosB

c² = a² + b² – 2ab cosC

กฎของไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้

①① การหาระยะทางและความสูง 

ในการวัดระยะทางและความสูงของสิ่งใดก็ตาม บางครั้งจะใช้เครื่องมือสำหรับวัดมาใช้ในการวัดโดยตรงไม่ได้

เช่น การวัดสถานที่สองแห่งที่มีสิ่งกีดขวางกั้นตรงกลาง หรือการวัดความสูงของภูเขา เป็นต้น

เราสามารถนำความรู้ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาประยุกต์ใช้ในการคำนวณได้ อันได้แก่

– มุมก้ม (Angel of Depression) คือมุมที่วังลงไปจากแนวราบ (ระดับสายตา)

– และมุมเงย (Angle of Elevation)คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ

– รวมถึงการใช้กฎของไซน์และโคไซน์มาช่วยในการคำนวณ