อนุกรมคือ ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น

อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วย

สัญลักษณ์ของผลรวม∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ

บทนิยาม อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

เมื่อ a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …, a₁ + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้ a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + … + (a₁ + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี a₁ เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a₁, a₂, a₃, …, a_nเป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

a₁+ a₂+ a₃ + … + a_n ว่า อนุกรมเลขคณิต

และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต

1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 1, 3, 5, …, 99 เป็น ลำดับเลขคณิต

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

2. 25 + 20 + 15 + 10 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 25, 20, 15, 10, … เป็น ลำดับเลขคณิต

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5

3. 7 + 14 + 21 + 28 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 7, 14, 21, 28, … เป็น ลำดับเลขคณิต

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 7

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ให้ S_n เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ที่มี a₁ เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่างร่วม จะได้

S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + [a₁+(n – 2)d] + [a₁+(n –1)d] —–(1)

หรือ S_n= [a₁ + (n –1)d] + [a₁ + (n – 2)d] + … + (a₁ + d) + a₁ —–(2)

สมการ (1)+(2) จะได้

2S_n = [2a₁ + (n –1)d] + [2a₁ + (n –1)d] + … + [2a₁ + (n –1)d] (n พจน์ )

2S_n= n[2a₁ + (n –1)d]

พื้นฐานคณิตเรื่องอนุกรมเลขคณิต