พื้นฐานตรรกศาสตร์
การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์
ในการวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์นั้น สามารถทำการวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีการดังนี้
- การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง
การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง สามารถทำการวิเคราะห์ได้ดังนี้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ p v q → p ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้
ตารางค่าความจริงของประพจน์ p v q → p
| p | q | p v q | p v q → p |
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T |
วิธีทำ 1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
- หาค่าpvq ก่อน
- หาค่าpvq→p^~q
ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้
ตารางค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r
วิธีทำ 1. เขียนค่าของ p, q, r ก่อน
| p | q | r | ~ r | p v q | (p v q) ^~ r |
| T | T | T | F | T | F |
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | F |
| F | T | F | T | T | T |
| F | F | T | F | F | F |
| F | F | F | T | F | T |
- หาค่า~ r ก่อน
- หาค่าpvq
- หาค่า(p v q) ^~ r
การสมมูลเชิงตรรกะ (Logical Equivalence)
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ค่าความจริงที่ของประพจน์ 2 ประพจน์ ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกัน กรณีต่อกรณี แล้วสามารถนำไปใช้แทนกันได้ จะเรียกประพจน์นั้นว่า เป็นรูปแบบที่สมมูลกันเช่น p → q กับ ~p v q ถือว่าเป็นรูปแบบที่สมมูลกันและจะใช้
สัญลักษณ์ “≡” แทนการสมมูลและใช้
สัญลักษณ์ “” แทนการไม่สมมูล
ตัวอย่าง ประพจน์ที่สมมูลกัน
| ประพจน์กรณีที่ 1 | สมมูลกับ | ประพจน์กรณีที่2 |
| ~p | ≡ | p →~p |
| ~q v q | ≡ | ~p v p |
| ~(p→q) | ≡ | p ^ ~q |
| ~(p ^ q) | ≡ | ~p v ~q |
| p→q | ≡ | ~q →~p |
| ~p v~q | ≡ | ~(p ^ q) |
| ~p v q | ≡ | p→q |
จงพิจารณาว่าประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
นำประพจน์ทั้งสองมาเขียนเป็นตารางค่าความจริง
ตารางค่าความจริงของประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
| p | q | ~p | ~q | p ^ q | ~(p ^ q) | ~p v ~q |
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
จะเห็นว่าผลของความจริงของทั้ง 2 ประพจน์ พบว่าสมสมมูลกัน
ค่าความจริงของประพจน์และตัวเชื่อม Truth Table
ในการเชื่อมประพจน์นั้นบางครั้งจะต้องใช้ตัวเชื่อมหลายตัวมาเชื่อมประพจน์ ซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหาในการหาค่าความจริงว่าควรที่จะเริ่มต้นที่ตัวใดก่อน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการลำดับสัญลักษณ์ที่ “คลุมความ” มากที่สุดและรองลงมาตามลำดับ
ตารางความจริง คือ ตารางที่สร้างขึ้นเพื่อใช้หาค่าความจริงของประพจน์
จะเห็นว่าผลของความจริงของทั้ง 2 ประพจน์ พบว่าสมสมมูลกัน
ตัวอย่าง ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว จะมีจำนวนแถว =22 = 4
ถ้ามีตัวแปร 3 ตัว จะมีจำนวนแถว = 23 = 8
การสร้างตารางความจริง
- ตีตารางที่มีจำนวนช่องเท่ากับจำนวนตัวแปรรวมกับจำนวนตัวเชื่อม
- เขียนค่าความจริงของตัวแปรก่อน(p,q,…)
- เริ่มเขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อยที่เล็กที่สุดก่อน แล้วจึงเขียนประพจน์ที่ใหญ่ขึ้นตามลำดับ
หลักในการหาค่าความจริง
- เขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อย หรือตัวแปรแต่ละตัวก่อน เช่นp,q,r,…
- หาค่าความจริงที่เป็นนิเสธของตัวแปร ถ้ามี~p,~q,…
-
- หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความมากขึ้นตามลำดับ
- ถ้าตัวเชื่อมกินความเท่ากัน ให้ทำจากซ้ายไปขวา
- ถ้ามีวงเล็บควรทำในวงเล็บก่อน
ตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด ไปหามากที่สุด เรียงตามลำดับดังนี้
- ~
- ^
- v
- →
- ↔
ตารางเรียงลำดับคุมความของลักษณ์จากมากไปหาน้อย
สัญลักษณ์ ความหมาย ขยายความหมาย ↔ ก็ต่อเมื่อ มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อประพจน์ที่เชื่อมกันมีค่าความจริงเหมือนกัน → ถ้า…แล้ว มีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อประพจน์หน้าเป็นจริงและหลังเป็นเท็จ ^ และ มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกประพจน์เป็นจริงทั้งหมด v หรือ มีค่าความเป็นจริง เมื่อมีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ~ ไม่ มีค่าความตรงข้าว เช่นเปลี่ยนจากเป็นเท็จ หรือเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริง จากตารางเรียงลำดับคลุมความจากมากไปน้อย โดยสัญลักษณ์ที่คลุมความน้อยกว่าต้องเริ่มจัดการทำก่อนสัญลักษณ์ที่คลุมความมากกว่า ส่วนกรณี^และvเป็นสัญลักษณ์ที่คลุมความเท่ากัน ดังนั้นจึงต้องใช้วงเล็บกำกับ เพื่อชี้ให้เห็นว่าจะต้องเริ่มทำที่ตัวเชื่อมใดก็ได้
p q ~q pvq p^~q pvq→p^~q T T
F
F
T F
T
F
F T
F
T
T T
T
F
F T
F
F
F T
F
T
ตัวอย่าง จงหาตารางความจริงของประพจน์ pvq→p^~q
วิธีทำ 1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
- หาค่า~q ก่อน
- หาค่าpvq และ p^~q
- หาค่าpvq→p^~q
ในกรณีที่ทราบค่าแน่นอนของตัวแปร (หรือประพจน์ย่อย) เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์รวมได้ทันทีโดยเขียนตารางเพียงแถวเดียว
ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของ (p→q)v(r^s)
-
วิธีทำ P(p,q,r,s) = (p→q)v(r^s)
P(F,F,F,F) = T
ตัวอย่าง “ถ้า 1+1 = 3 หรือ 2+2 = 5 แล้ว 1+2 = 4”
วิธีทำ ให้ p คือ 1+1 = 3 เป็น F
q คือ 2+2 = 5 เป็น F
r คือ 1+2 = 4 เป็น F
ประโยคข้างต้นสามารถเขียนแทนด้วย p^q→r
pvq = FvF = F
pvq→r = F→F = T
ตัวอย่าง จงเขียนประโยคที่กำหนดให้ในรูปสัญลักษณ์
(1) ถ้า 4 เป็นเลขคี่แล้ว 5 เป็นเลขคู่
p แทน 4 เป็นเลขคี่
q แทน 5 เป็นเลขคู่
ดังนั้นเขียนแทนด้วย p→q
(2) 2 เท่ากับหรือมากกว่า 3
p แทน 2 เท่ากับ 3
q แทน 2 มากกว่า 3
ดังนั้นเขียนแทนด้วย pvq
(3) 6 หาร 3 ได้ลงตัวก็ต่อเมื่อ 3 บวก 3 เท่ากับ 7
p แทน 6 หาร 3 ลงตัว
q แทน 3 บวก 3 เท่ากับ 7
ดังนั้นเขียนแทนด้วย p↔q
(4) ดอกกุหลาบมีสีแดงและดอกมะลิมีสีฟ้า
p แทนดอกกุหลาบมีสีแดง
q แทนดอกมะลิมีสีฟ้า
ดังนั้นเขียนแทนด้วย p^q
การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์
ในการวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์นั้น สามารถทำการวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีการดังนี้
- การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง
การวิเคราะห์ด้วยตารางค่าความจริง สามารถทำการวิเคราะห์ได้ดังนี้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ p v q → p ด้วยตารางค่าความจริง
-
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้
ตารางค่าความจริงของประพจน์ p v q → p
p q p v q p v q → p T T T T T F T T F T T F F F F T วิธีทำ 1. เขียนค่าของ p, q ก่อน
- หาค่าpvq ก่อน
- หาค่าpvq→p^~q
ตัวอย่าง จงวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r ด้วยตารางค่าความจริง
นำพจน์ข้างบนมาเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ดังตารางต่อไปนี้
ตารางค่าความจริงของประพจน์ (p v q) ^~ r
วิธีทำ 1. เขียนค่าของ p, q, r ก่อน
p q r ~ r p v q (p v q) ^~ r T T T F T F T T F T T T T F T F T F T F F T T T F T T F T F F T F T T T F F T F F F F F F T F T - หาค่า~ r ก่อน
- หาค่าpvq
- หาค่า(p v q) ^~ r
การสมมูลเชิงตรรกะ (Logical Equivalence)
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ค่าความจริงที่ของประพจน์ 2 ประพจน์ ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกัน กรณีต่อกรณี แล้วสามารถนำไปใช้แทนกันได้ จะเรียกประพจน์นั้นว่า เป็นรูปแบบที่สมมูลกันเช่น p → q กับ ~p v q ถือว่าเป็นรูปแบบที่สมมูลกันและจะใช้
สัญลักษณ์ “≡” แทนการสมมูลและใช้
สัญลักษณ์ “” แทนการไม่สมมูล
ตัวอย่าง ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์กรณีที่ 1 สมมูลกับ ประพจน์กรณีที่2 ~p ≡ p →~p ~q v q ≡ ~p v p ~(p→q) ≡ p ^ ~q ~(p ^ q) ≡ ~p v ~q p→q ≡ ~q →~p ~p v~q ≡ ~(p ^ q) ~p v q ≡ p→q จงพิจารณาว่าประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
นำประพจน์ทั้งสองมาเขียนเป็นตารางค่าความจริง
ตารางค่าความจริงของประพจน์ ~(p ^ q) สมมูลกับประพจน์ ~p v ~q
p q ~p ~q p ^ q ~(p ^ q) ~p v ~q T T F F T F F T F F T F T T F T T F F T T F F T T F T T จะเห็นว่าผลของความจริงของทั้ง 2 ประพจน์ พบว่าสมสมมูลกัน
