พื้นฐานเซต (Intro to Set) ม.4

 เซตพื้นฐาน

เซตเป็นหัวข้อที่มีความสำคัญและแทรกอยู่ในเนื้อหาของคณิตศาสตร์แทบทุกส่วน เราใช้เซตในการรวบรวมสิ่งต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็น ค่าตัวเลข ตัวแปร

แนะนำว่าควรวาดภาพเซตของเวนน์-ออยเลอร์ควบคู่กันไปกับการทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านี้

ชนิดของเซท

• เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set) หมายถึง เซทที่ไม่มีสมาชิกหรืออาจะกล่าวได้ว่าเซตว่างมีสมาชิก 0 สมาชิก โยสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ { }
• เซตจำกัด (Finite Set) หมายถึง เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ครบถ้วน สามารถบอกได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเท่าใด เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์
• เซตอนันต์ (Infinite Set) หมายถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถบอกได้ว่ามีจำนวนเท่าใด
• เซตเท่ากัน (Equal Set) หมายถึง เมื่อ A และ B เป็นเซตใดๆ A จะเรียกว่าเท่ากับ B ก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีจำนวนสมาชิกเท่ากันและเหมือนกันทุกสมาชิก ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A – B หรืออาจกล่าวได้ว่าเซตสองเซตใดๆ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อสมาชิกของ A ทุกสมาชิกเป็นสมาชิกของ B และสมาชิกทุกสมาชิกของ B เป็นสมาชิกของ A นั่นคือ A = B ก็ต่อเมื่อ ถ้า x ϵ A แล้ว X ϵ B และ ถ้า X ϵ B แล้ว X ϵ A
• เซตเสมอเหมือนกัน (Equivalent Set) คือ เซต 2 เซตใดๆ ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันแต่ไม่เหมือนกันทุกตัว เรียกว่า เซตเสมอ ฃเหมือน A เสมอเหมือน B จะเขียนแทนด้วย A ≡ B นั่นคือเซต 2 เซตที่เท่ากันเสมอเหมือนกัน แต่เซต 2 เซตที่เสมอเหมือนกันอาจจะเท่ากัน หรือไม่เท่ากันก็ได้
• สับเซต (Sub Set) กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ A จะเรียกเป็นสับเซตของ B ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A C Bก็ต่อเมื่อ X ϵ A แล้ว X ϵ B
• พาวเวอร์เซท (Power Set) คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เมื่อ A เป็นเซตจำกัด เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A)

เอกภพสัมพัทธ์และแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

เอกภพสัมพัทธ์ (Relatively Universe) คือ เซตที่กำหนดขึ้น โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ นิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนสัญลักษณ์เอกภพสัมพัทธ์

แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler) คือ แผนภาพที่ใช้เพื่อให้การศึกษาเกี่ยวกับเซตให้เข้าใจง่ายมากยิ่งขึ้น โดยจะแทนเอกภพสัมพัทธ์ด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก และแทนเซตอื่น ๆ ด้วยวงกลมหรือรูปเรขาคณิตอื่นๆ สมาชิกของเอกกพสัมพันธ์อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยม และสมาชิกของ A อยู่ภายในวงกลม

การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์

            การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซตย่อยของ Uอาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆโดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้

       1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์

       2. ใช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกของ  และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ถ้ากำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5} , C = {3,5,6,7}