ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) ตรีโกณมิติรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Circular Function คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและ ปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุด บนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด
ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ
1.ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น สามารถทำได้โดยการใช้วงกลมรัศมี 1 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle)
เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีข้อตกลงดังนี้ว่า :
ถ้า θ > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคือจุด (1,0)
จะได้ว่า เมื่อเรากำหนดจำนวนจริง θ ให้ เราสามรารถหาจุด (x,y) ซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น
ถ้า |θ| > 2π แสดงว่า วัดส่วนโค้งเกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2π หน่วย
เมื่อ (x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมข้างต้น
y = sinθ (อ่านว่า วาย เท่ากับ ไซน์ทีตา)
x = cosθ (อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา)
ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์นั้น เป็นจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1
นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1
และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสองคือเซตของจำนวนจริง
2.ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เป็นดังตารางนี้
จากตาราง ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า
sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) = cosθ
3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ
นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญอีกหลายฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้
ฟังก์ชันแทนเจนต์ (Tangent function) เขียนแทนด้วย tan (อ่านว่า แทน)
ฟังก์ชันเซแคนต์ (Secant function) เขียนแทนด้วย sec (อ่านว่า เซก)
ฟังก์ชันโคเซแคนต์ (Cosecant function) เขียนแทนด้วย cosec (อ่านว่า โคเซก)
ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ (Cotangent function) เขียนแทนด้วย cot (อ่านว่า คอต)
4.ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนของเส้นโค้งที่ยาว 2πr หน่วยจะมีขนาด 2π เรเดียน
และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งครึ่งวงกลมที่ยาว πr หน่วยจะมีขนาด π เรเดียน
จะเห็นได้ว่า สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมมรายาว a หน่วย จะได้
θ = a/r
360 องศา เท่ากับ 2π เรเดียน
180 องศา เท่ากับ π เรเดียน
sin = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos = ด้านประชิด / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
tan = ด้านตรงข้าม / ด้านประชิด
5.การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
6.กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่ มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:
จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม
ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน
สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:
เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของ ฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)
| ฟังก์ชัน | ตัวย่อ | ความสัมพันธ์ |
| ไซน์ (Sine) | sin |
|
| โคไซน์ (Cosine) | cos |
|
| แทนเจนต์ (Tangent) | tan (หรือ tg) |
|
| โคแทนเจนต์ (Cotangent) | cot (หรือ ctg หรือ ctn) |
|
| ซีแคนต์ (Secant) | sec |
|
| โคซีแคนต์ (Cosecant) | csc (หรือ cosec) |
 |
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ
นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A
เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
- ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
- ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b
จะได้
1) ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
- sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h
2) โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
- cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3) แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
- tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4) โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
- csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5) ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
- sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6) โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
- cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a
