ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ( exponential function ) คือ

ฟังก์ชัน { (x,y) ϵ R R | y = , > 0 , ≠ 1 , ϵ R}

ข้อสังเกต 1. f(x) = เป็นฟังก์ชันคงตัว เพราะว่า = 1 ไม่เรียกฟังก์ชันนี้ว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

โดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ เซตของจำนวนจริง ( R )

ถ้ากำหนดให้ a = 1 และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้

a^x = 1^x = 1

ข้อสังเกต

ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1^x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ เนื่องจาก เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ ซึ่งจะกล่าวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R⁺ / y = a^x , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ka^x เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้ จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = a^x เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1^x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จึงไม่สนใจ ฐาน (a) ที่เป็น 1
f(x) = 1^x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัว
จากเงื่อนไขที่ว่า y = a^x, a > 0, a ¹ 1 ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ 0 < a < 1 กับ a > 1
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a) ดังนี้

ชนิดที่ 1 y = a^x, 0 < a < 1

ชนิดที่ 2 y = a^x, a > 1

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)
จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

ถ้ากำหนดให้ a = 1 และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
ax = 1x = 1

ข้อสังเกต

ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ เนื่องจาก เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ ซึ่งจะกล่าวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

เทคนิคชุดที่ 1

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ทำฐานให้เหมือนกันได้

หลักการ

ถ้า 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) แล้ว
1. a^x1 > a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ < x₂
2. a^x1 < a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ > x₂

ข้อสังเกต

ถ้า a > 1(ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว

a^x1 > a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ > x₂

a^x1 < a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ < x₂

ข้อสังเกต ปลดฐาน หรือเติมฐาน คงเดิมเครื่องหมายอสมการ

สิ่งที่ควรเน้น คำตอบที่ได้จากการแก้อสมการ ไม่ต้องนำมาตรวจสอบคำตอบ

ยกเว้น ในกรณีที่มีการยกกำลังจำนวนคู่ จะต้องตรวจสอบคำตอบด้วย

เรื่องการแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลนั้น มีสิ่งที่ต้องคำนึงอยู่แค่หนึ่งสิ่งที่สำคัญคือ กรณีฐานของเลขยกกำลังนั้นมีค่ามากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง นอกนั้นไม่มีอะไรเลยครับ การแก้อสมการในกรณีที่เลขฐานมากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง ต้องมีการสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม ดังทฤษฏีต่อไปนี้

กรณีที่ฐาน $0 < a < 1$

ถ้า $a^{x} > a^{y}$ แล้ว $x < y$ ต้องสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

แต่ถ้า

กรณีที่ฐาน $a > 1$

ถ้า $a^{x} > a^{y}$ แล้ว $x > y$ ฐานมากว่าหนึ่งไม่ต้องสลับเครื่องหมายนะครับ

เป็นดูตัวอย่างการแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลกันเลย

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลต่อไปนี้

1) $4^{x + 1} > 2^{x - 3}$

วิธีทำ ขั้นตอนแรกต้องทำฐานให้เท่ากันก่อนครับ

$4^{x + 1} > 2^{x - 3}$

$2^{2 (x + 1)} > 2^{x - 3}$

$2^{2 x + 2} > 2^{x - 3}$ จะเห็นว่าฐานเท่ากันแล้ว

ดังนั้นจะได้ เอาเลขชี้กำลังมาแก้อสมการต่อนะครับ ไม่ต้องสลับเครื่องหมายเพราะฐานคือ 2 มากกว่า 1

$2 x + 2 > x - 3$

$2 x > x - 3 - 2$

$2 x > x - 5$

$2 x - x > - 5$

$x > - 5$

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

1. ถ้า 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) แล้ว

สังเกตได้ว่า : สําหรับ 0 < a < 1 เมื่อปลดฐานหรือเติมฐาน เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

ถ้า a > 1(ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว

a^x1 > a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ < x₂

a^x1 < a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ > x₂

2. ถ้า a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว

ถ้า a > 1(ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว

a^x1 > a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ > x₂

a^x1 < a^x2 ก็ต่อเมื่อ x₁ < x₂

จุดสังเกต : สําหรับ a > 1 เมื่อปลดฐาน หรือเติมฐาน คงเดิมเครื่องหมายอสมการ

ฟังก์ชันลอการิทึม คืออะไร

ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น { (x, y) ∈ R⁺ ×R / y = log_ax, a > 0, a ≠ 1 }
ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
log_ax อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”