ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน เพราะถ้าเรารู้ว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์อาจจะทำให้การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์และการหาค่าความจริงง่ายขึ้น
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่สำคัญ
1. p ∧ ~p ≡ F
2. p ∨ ~p ≡ T
3. p ∧ T ≡ p
4. p ∨ F ≡ p
5. ~(~p) ≡ p
6. p ∨ q ≡ q ∨ p
7. p ∧ q ≡ q ∧ p
8. ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) ≡ p ∨ q ∨ r
9. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) ≡ p ∧ q ∧ r
10. p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
11. p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
12. ~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q
13. ~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q
14. p → q ≡ ~q → ~p
15. p → q ≡ ~p ∨ q
16. ~( p → q ) ≡ p ∧ ~q
17. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p )
** เปลี่ยน “ถ้า…แล้ว…” เป็น “หรือ” ง่ายๆ ด้วยประโยค “หน้าเปลี่ยนไป “หรือ” หลังเฉยๆ วิธีนี้ใช้ได้ทั้งไปและกลับ
การสร้างตารางค่าความจริง
พิจารณาประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น ~p, p∧q, pVq, p →q, p↔q, (p∧q) →r จะเห็นว่าประพจน์เหล่านี้มี p, q. r เป็นประพจน์ย่อย ซึ่งเรายังไม่กำหนดค่าความจริง จะเรียก p, q. r เป็นตัวแปรแทนประพจน์ใดๆ และเรียกประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น ~p, p∧q, pVq, p→q ว่าเป็นรูปแบบของประพจน์ เนื่องจาก p, q. r เป็นตัวแปรแทนประพจน์ใดๆ ดังนั้น ในการพิจารณาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์จึงต้องกำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยทุกกรณีที่เป็นไปได้
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p→q)(~p∧~q)
วิธีทำ รูปแบบของประพจน์ (p→q)→( ~p∧ ~q) ประกอบด้วยประพจน์ย่อยสองประพจน์คือ p,q จึงมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด 4 กรณี จะได้ตารางค่าความจริงของ (p→q)→ ( ~p∧~q) ดังนี้
| p | q | p→q | ~p | ~q | ~p∧ ~q | (p→q)→( ~p∧ ~q) |
| T | T | T | T | F | F | F |
| T | F | F | F | T | F | T |
| F | T | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
ตาราง 1.1 กฎการสมมูลเชิงตรรกศาสตร์
ชื่อกฎ Rules ความหมาย
เอกลักษณ์ Identity p ↔p
นิเสธสองชั้น Double Negation p ↔∼(∼ p)
นิรมัชฌิม Excluded Middle p∨∼p
ข้อขัดแย้ง Contradiction ∼( p∧∼ p)
นิจพล Idempotent (p∧p)↔p
(p∨p)↔p
การบวก Addition p→(p∨q)
การสมมูล Equivalence ( p ↔q)↔[(p→q)∧(q→p)]
( p ↔q)↔∼(p⊕q)
การแย้งสลับที่ Contraposition (p→q)↔(∼q→∼p)
ตรรกบทแบบสมมติฐาน Hypothetical
Syllogism
[(p→q)∧(q→r)]→(p→r)
การสลับที่ Commutative
Laws
(p∧q)↔(q∧p), (p∨q)↔(q∨p)
การเปลี่ยนหมู่ Associative Laws [ p∧(q∧r)]↔[(p∧q)∧r]
[ p∨(q∨r)]↔[(p∨q)∨r]
กฎการแจกแจง Distributive Laws [ p∧(q∨r)]↔[(p∧q)∨(p∧r)]
[ p∨(q∧r)]↔[(p∨q)∧(p∨r)]
การดูดซึม Absorption Laws [p∧(p∨q)]↔p
[p∨(p∧q)]↔p
เดอมอร์แกน De Morgan’s Laws ∼(p∧q) ↔(∼p∨∼q)
∼(p∨q)↔(∼p∧∼q)
การมีเงื่อนไข Implication (p→q)↔(∼p∨q)
(p∨q)↔(∼p→q)
นิเสธของการมีเงื่อนไข Negation for
Implication
∼(p→q)↔(p∧∼q)
หมายเหตุ p ⊕ q ⇔ (p ∨ q) ∧ ∼(p∧q) p ⊕ q ⇔ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧∼p)
การพิสูจน์ทางตรรกะ
การพิสูจน์ทางตรรกะ สามารถแสดงได้ 2 วิธี คือ
1. การแสดงโดยแจกแจงตารางค่าความจริง
2. การแสดงโดยใช้กฎทางตรรกกะ
1.5.1 การแสดงโดยแจกแจงตารางค่าความจริ ง
ตัวอย่าง จงพิสูจน์การสมมูลของประพจน์ประกอบต่อไปนี้โดยการแจกแจงตารางค่าความจริ ง
∼(∼p ∨ ∼q) ⇔ p∧q
วิธีทํา
p q ∼p ∼q ∼p ∨ ∼q ∼(∼p ∨ ∼q) p∧q ∼(∼p ∨ ∼q) ↔p∧q
T T F F F T T T
T F F T T F F T
F T T F T F F T
F F T T T F F T
ดังนั้น ∼(∼p ∨ ∼q) ⇔ p∧q
