ระบบจำนวนจริง

จำนวนจริงประกอบด้วย จำนวนอตรรกยะ และ จำนวนตรรกยะ ซึ่งเราจะพิจารณาในรายละเอียดได้ดังนี้

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้ ยกตัวอย่างเช่น√2, √3,√5 หรือค่า¶ เป็นต้น
จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้ยกตัวอย่างเช่น 1/2, 1/3, 2/5 เป็นต้น

จากแผนภาพอีกเช่นเคย จะเห็นได้ว่า จำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยสองส่วนคือ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม คือจำนวนที่เป็นตัวเลขเต็มๆ หรือ ตัวเลขที่ไม่มีทศนิยมนั่นเอง นั่นคือ ตัวเลขที่เราใช้นับนั่นเอง ยกตัวอย่างเช่น 1, 2, 3, 4 … ทั้งนี้ทั้งนั้น รวมไปจนถึงค่าที่ติบลบของจำนวนนับนี้และศูนย์ด้วย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 ….
จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ความหมายของจำนวนนี้ก็ตามความหมายของชื่อเลยครับ นั่นคือ ตัวเลขเขียนในรูปของทศนิยมซ้ำได้โดยที่ไม่ได้เป็นเลขจำนวนเต็มนั่นเอง อย่างเช่น 1/2=0.5 หรือ 1/3 = 0.333…

การจำแนกจำนวนจริง

ในทางคณิตศาสตร์สามารถจำแนกจำนวนจริงได้ดังนี้ ในส่วนแรกเราสามารถรวมชุดของจำนวนธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยตัวใหญ่ N และซึ่ง ได้แก่ 1, 2, 3, 4 ฯลฯ รวมทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนผสมเนื่องจากทั้งสองมีความเป็นธรรมชาติเท่ากัน

ในทางกลับกันเรามีจำนวนเต็มที่แสดงด้วยทุน Z และจะแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มบวกจำนวนเต็มลบและ 0 ด้วยวิธีนี้ทั้งจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มจะรวมอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะที่แสดงโดยทุน ตัวอักษร Q.

สำหรับจำนวนอตรรกยะซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร ll นั้นเป็นจำนวนที่ตรงตามลักษณะสองประการคือไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้และมีเลขทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดเป็นระยะ ๆ ตัวอย่างเช่นจำนวน pi หรือตัวเลขสีทอง (ตัวเลขเหล่านี้คือ จำนวนจริงด้วยเนื่องจากสามารถจับภาพได้บนเส้นจินตภาพ)

สรุปได้ว่าเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของความไม่ลงตัวจะรวมกันเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ระบบจำนวนจริง

“ระบบจำนวนจริง” เป็นรากฐานสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วยจำนวนต่างๆ ได้แก่ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนนับ

โครงสร้าง ระบบจำนวนจริง

มนุษย์เรามีความคิดเรื่องจำนวนและระบบการนับมาตั้งแต่โบราณ และจำนวนที่มนุษย์เรารู้จักเป็นอย่างแรกก็คือ จำนวนนับ การศึกษาระบบของจำนวนจึงใช้พื้นฐานของจำนวนนับในการสร้างจำนวนอื่นขึ้นมา จนกลายมาเป็นจำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน (เนื้อหาม.5) ดังนั้น ถ้าน้องๆเข้าใจจำนวนนับแล้วน้องๆก็จะสามารถศึกษาระบบจำนวนอื่นๆได้ง่ายขึ้น

โครงสร้าง

จำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathbb{R}$

จำนวนเต็ม

จำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathbb{N}$ หรือ $I^+$ คือจำนวนที่เอาไว้ใช้นับสิ่งต่างๆ

เซตของจำนวนนับเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ $ระบบจำนวนจริง$ = {1,2,3,…}

จำนวนเต็มศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $ระบบจำนวนจริง$ มีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ $I^0$ = {0}

จำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $ระบบจำนวนจริง$ คือ ตัวผกผันการบวกของจำนวนนับ ซึ่งตัวผกผัน คือตัวที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนนับจะทำให้ผลบวก เท่ากับ 0 เช่น จำนวนนับคือ 2 ตัวผกผันก็คือ -2 เพราะ 2+(-2) = 0 สมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบมีจำนวนเป็นอนันต์ นั่นคือ $I^-$ = {…,-3,-2,-1}

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $ระบบจำนวนจริง$ คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ซึ่งก็คือ ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เต็มบวก, เต็มลบ) เช่น $\frac{1}{2}$ จะเห็นว่า ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ซึ่งทั้ง 1 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะยังสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้อีกด้วย เช่น $3.\dot{3}$ เป็นต้น

น้องๆสงสัยไหมว่าทำไมจำนวนเต็มถึงอยู่ในจำนวนตรรกยะ??

ลองสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ดูค่ะ

-3, 2, 0

-3 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>> -3/1,33/-1,-6/2 , … จะเห็นว่าเศษส่วนที่ยกตัวอย่างมานี้ มีค่าเท่ากับ -3 และเศษส่วนเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ

2 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>> 2/1, 4/2 .-4/-2 … จะเห็นว่า 2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

0 เกิดจากเศษส่วนได้เช่นกัน เพราะ 0 ส่วนอะไรก็ได้ 0 ยกเว้น!!! 0/0 เศษส่วนนี้ไม่นิยามนะคะ

ดังนั้น จำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

ข้อควรระวัง ตัวเศษสามารถเป็นจำนวนเต็มอะไรก็ได้ แต่!! ตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 นะจ๊ะ

เช่น 1/0 แบบนี้ถือว่าไม่เป็นจำนวนตรรกยะนะคะ

จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $ระบบจำนวนจริง$ คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

เช่น ทศนิยมไม่รู้จบ 1.254545782268975456… , √ 2, √ 3 เป็นต้น

**√¯ อ่านว่า square root เป็นสัญลักษณ์แทนค่ารากที่ 2

เช่น

√ 2 คือ รากที่ 2 ของ 2 หมายความว่า ถ้านำ √ 2 × √ 2 แล้วจะเท่ากับ 2

√ 2 คือ รากที่ 2 ของ 3 หมายความว่า ถ้านำ √ 3 × √ 3 แล้วจะเท่ากับ 3

สรุปก็คือ รากที่ 2 คือ ตัวที่นำมายกกำลัง 2 แล้วทำให้ square root หายไป

ตัวอย่าง ระบบจำนวนจริง

พิจารณาจำนวนต่อไปนี้ แล้วตอบคำถามว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ, อตรรกยะ, จำนวนจริง

1.) 1.5

แนวคำตอบ 1.5 สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น 3/5 , 6/4 ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะอยู่ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

2.) 1.3

แนวคำตอบ 1.3 เป็นทศนิยมที่ซ้ำ 3 ซึ่งก็คือ 1.33333333… ไปเรื่อยๆ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น 4/3 ดังนั้น 1.3 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

3.) π

แนวคำตอบ π = 3.14159265358979323846264338327950288420…. จะเห็นว่าเป็นเลขทศนิยมไม่ซ้ำและไม่สิ้นสุด ดังนั้น π เป็นจำนวนอตรรกยะ

และเนื่องจาก จำนวนอตรรกยะก็อยู่ในเซตของจำนวนจริง

ดังนั้น π เป็นจำนวนอตรรกยะและจำนวนจริง

สมบัติการเท่ากัน

สมบัติการสะท้อน a = a
สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวก

สมบัติปิด ถ้า a ϵ R และ b ϵ R แล้ว a + b ϵ R
สมบัติการสลับที่ จะได้ a + b = b + a
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c
สมบัติมีเอกลักษณ์การบวก คือ 0 จะได้ 0 + a = a + 0 = a
สมบัติมีอินเวอร์สการบวก a มีอินเวอร์สการบวกคือ -a และ -a มีอินเวอร์สการบวก คือ a จะได้ a + (-a) = (-a) + a = 0

สมบัติการคูณ

สมบัติปิด ถ้า a ϵ R และ b ϵ R แล้ว a.b ϵ R
สมบัติการสลับที่ จะได้ a.b = b.a
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม จะได้ a.(b.c) = (a.b).c
สมบัติมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 จะได้ 1.a = a.1 = a
สมบัติมีอินเวอร์สการคูณ (ยกเว้น 0 เพราะ 1/0 ไม่มีความหมาย) a มีอินเวอร์สการคูณคือ 1/a และ 1/a มีอินเวอร์สการคูณ คือ a จะได้ a. 1/a = 1/a .a=1

สมบัติการคูณและการบวก