ระบบจำนวนจริง เรื่องอสมการ
อสมการ
1.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
คุณเคยเรียนเรื่องการเขียนประโยคเกี่ยวกับจำนวนให้เป็นประโยคที่ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาแล้ว เช่น ประโยค สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งเท่ากับหก เขียนได้เป็น 3x = 6และประโยค สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่าสี่อยู่เจ็ด เขียนได้เป็น2x – 4 = 7 นอกจากนี้ยังเคยรู้จักสัญลักษณ์ต่อไปนี้
< แทนความสัมพันธ์น้อยกว่า หรือไม่ถึง
> แทนความสัมพันธ์มากกว่า หรือเกิน
และ ≠ แทนความสัมพันธ์ไม่เท่ากับหรือไม่เท่ากัน
นอกจากสัญลักษณ์ดังกล่าวแล้ว เรายังใช้สัญลักษณ์ ≤ แทนความสัมพันธ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ สัญลักษณ์ ≥ แทนความสัมพันธ์มากกว่าหรือเท่ากับ เช่น
X ≤ 2 อ่านว่า x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2
หมายถึง x < 2 หรือ x = 2
อีกนัยหนึ่งคือ X ไม่เกิน 2
และ a ≥ b อ่านว่า a มากกว่าหรือเท่ากับ b
หมายถึง a > b หรือ a = b
อีกนัยหนึ่งคือ A ไม่น้อยกว่า b
อสมการ เป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ <, >, ≤, ≥ หรือ ≠ แสดงความสัมพันธ์
คำตอบของอสมการ คือ จำนวนที่แทนตัวแปรในอสมการแล้วทำให้อสมการเป็นจริง
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคำตอบได้หลายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของอสมการ X ≥ 7
วิธีทำ เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7 ในx ≥ 7 แล้วจะได้อสมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของอสมการ X ≥ 7 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7
ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของอสมการ A ≠ 30
วิธีทำ เนื่องจาก เมื่อแทน a ด้วยจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เท่ากับ 30 ใน a ≠ 30 จะได้อสมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของอสมการ A ≠ 30 คือจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 30
ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 30
2.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้อสมการ คือ การหาคำตอบของอสมการ ที่ผ่านมานักเรียนแก้อสมการโดย
การลองแทนค่าตัวแปรในอสมการ แต่อาจไม่สะดวกเมื่ออสมการมีความซับซ้อน เช่น
เมื่อต้องการแก้อสมการ 2x+3 < -6 นักเรียนจะพบว่าเป็นการยากที่จะหาคำตอบของอสการ
นี้โดยการลองแทนค่าตัวแปร
เพื่อความรวดเร็วในการแก้อสมการ เราจะใช้สมบัติของการไม่เท่ากันในการหาคำตอบ
ได้แก่ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากันและสมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน
สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ
1.ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
2.ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c
ตัวอย่าง ถ้า 10 < 12 แล้ว 10 + 5 < 12 + 5
หรือ 15 < 17
ถ้า 25 ≤ 30 แล้ว 25+10 ≤ 30+10
หรือ 35 ≤ 40
เนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a ≤ b มีวามหมายเช่นเดียวกับ
b ≥ a ดังนั้นสมบัติการบวกของการไม่เท่ากันจึงเป็นจริงสำหรับกรณี a > b และ a ≥ b
ด้วยดังนี้
เมื่อ a, b และ c แทนด้วยจำนวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2.ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c
สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน
ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a < b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac < bc
2. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc
3. ถ้า a < b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac > bc
4. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac ≥ bc
ตัวอย่าง 1. ถ้า 5 < 7 แล้ว 5 2 < 7 2 จะได้ 10 < 14
2. ถ้า 12 ≤ 15 แล้ว 12 3 ≤15 3 จะได้ 36 ≤ 45
3. ถ้า 20 < 30 แล้ว 20 (-4) > 30 (-4) จะได้ -80 > -120
4. ถ้า 100 ≤ 200 แล้ว 100 (-5) ≥ 200 (-5) จะได้ -500 ≥ 1000
และเนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a≤ b มีความหมายเช่นเดียว
กับ b ≥ a ดังนั้น สมบัติการคูณของการไม่เท่ากันจึงเป็นจริงสำหรับกรณีที่ a > b และ a ≥ b
ด้วยดังนี้
3. ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac > bc
4. ถ้า a ≥ b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≥ bc
5. ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac < bc
ถ้า a ≥ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac ≤ bc
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
คุณเคยแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมาแล้ว ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวก็สามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน โดยมีขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์กำหนดอะไรมาให้และให้หาอะไร
ขั้นที่ 2 กำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้มาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา
ขั้นที่ 3 เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย์
ขั้นที่ 4 แก้อสมการเพื่อหาคำตอบที่โจทย์ต้องการ
ขั้นที่ 5 ตรวจสอบคำตอบที่ได้กับเงื่อนไขคำอบในโจทย์
ตัวอย่างที่ 1 ป้องซื้อน้ำดื่มขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้ำขวดเล็กราคาขวดละ 5 บาท ขายน้ำขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่าป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมากกี่ขวด
วิธีทำ ให้ป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขาย x ขวด
จะได้ว่า ป้องซื้อน้ำขวดกลางมาขาย 200-x ขวด
ขายน้ำขวดเล็กได้เงิน 5x บาท
ขายน้ำขวดกลางได้เงิน 8(200-x) บาท
ขายน้ำทั้งหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท
จะได้อสมการเป็น
5x + 8[200-x] – 1,200 > 250
5x + 1,600 – 8x -1,200 > 250
-3x + 400 > 250
-3x > 250 – 400
-3x > -150
x <
x < 50
ตรวจสอบ ถ้าป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
จะต้องซื้อน้ำขวดกลางมาขายอย่างน้อย 200-49 = 151 ขวด
ขายน้ำขวดเล็ก 49 ขวด เป็นเงิน 549 = 245 บาท
ขายน้ำขวดกลาง 151 ขวด เป็นเงิน 8,151= 1,208 บาท
ขายน้ำทั้งหมดได้เงิน 245+1,208 = 1,453 บาท
คิดเป็นกำไร 1,453-1,200 = 253 บาท
กำไร 253 มากกว่า 250 บาทซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
ดังนั้น ป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
ตอบ 49 ขวด
ตัวอย่างที่ 2 พิณมีเงินสะสมอยู่จำนวนหนึ่ง วันหนึ่งพ่อให้เงินพิณเป็นพิเศษ 600 บาท วันรุ่งขึ้นพิณซื้ออาหารให้แมว
และนกที่เลี้ยงไว้เป็นเงิน 420 บาท พิณรู้ว่ายังเหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเงินของพิณและเงินที่พ่อให้รวมกัน
จงหาว่าเดิมพิณมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อยกี่บาท
วิธีทำ ให้ เดิมพิณมีเงินสะสมอยู่ x บาท
เงินของพิรและเงินที่พ่อให้รวมกันเป็น x+600 บาท
หลังจากพิณซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท เหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของ x+600 บาท
จะได้อสมการเป็น
x+600-420 ≥ (x+600)
x+180 ≥ x+300
X – x ≥ 300-180
≥ 120
X ≥ 240
ตรวจสอบ ถ้าพิณมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาท
เมื่อรวมกับเงินที่พ่อให้ 600 บาท พิณจะมีเงินรวมกันอย่างน้อย240+600 = 840 บาท
หลังจากซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท
จะเหลือเงินอีกอย่างน้อย 840-420 = 420 บาท เงิน 420 บาท ไม่น้อยกว่า ของ 840 บาท ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
ดังนั้น พิณมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาท
ตอบ 240 บาท
