คณิตศาสตร์ ม. 3

ระบบเชิงเส้น

บทเรียนย่อย
– การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
– สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
– สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
– ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
– สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เมื่อ a = 1

..พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว (quadratic polynomial with one variable) คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว ที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป x² + bx + c ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว c และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b (อะไรเอ่ย คูณกันได้ c บวกกันได้ b)

ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b จะได้ว่า

x² + bx + c = (x + m)(x + n)

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือการหาคำตอบของสมการ นักเรียนเคยหาคำตอบของสมการ โดยวิธีลองแทนค่าในสมการเพื่อให้สมการนั้นเป็นจริงมาแล้ว นักเรียนอาจมีปัญหาในการใช้วิธีนี้ เมื่อสมการมีความซับซ้อนมากขึ้น เช่น เมื่อต้องการหาคำตอบของสมการ

โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปรในสมการ ซึ่งนักเรียนจะพบว่าเป็นการยากที่จะหาคำตอบของสมการได้เป็น

เพื่อความรวดเร็วในการหาคำตอบของสมการ เราจะใช้สมบัติของการเท่ากันในการหาคำตอบ

1.สมบัติสมมาตร

เรามีวิธีการเขียนแสดงการเท่ากันของจำนวนสองจำนวนได้สองแบบ เช่น
1. x = 9 หรือ 9 = x

2. a + b = c หรือ c = a + b

3. -4 = -2x หรือ -2x = -4

4. x – 3 = 4x + 2 หรือ 4x + 2 = x – 3

5. m + n หรือ n + m

จากการเขียนแสดงการเท่ากันข้องต้นเป็นไปตาม สมบัติสมมาตร ซึ่งกล่าวได้ว่า

2.สมบัติถ่ายทอด

นักเรียนเคยใช้สมบัติของการเท่ากันเพื่อให้ได้ข้อสรุป เช่น

1. ถ้า x = y และ y = 3 แล้วจะสรุปได้ว่า x = 3

2. ถ้า a + b = x และ x = 7 แล้วจะสรุปได้ว่า a + b = 7

3. ถ้า B = k ⨉ m และ k ⨉ m = a แล้วจะสรุปได้ว่า B = a

จากการใช้สมบัติของการเท่ากันข้างต้นเป็นไปตาม สมบัติถ่ายทอด ซึ่งกล่าวได้ว่า

3.สมบัติการการบวก

วนเท่ากัน เมื่อนำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมาบวกแต่ละจำนวนที่เท่ากันนั้น แล้วผลลัพธ์จะเท่ากัน เช่น

1. 3 ⨉ 3 = 9 แล้ว (3 ⨉ 3) + (-6) = 9 + (-6)

2. ถ้า a = 7 แล้ว a + 11 = 7 + 11

3. ถ้า b + 4 = 10 แล้ว (b+4) + (-3) = 10 + (-3)

4. ถ้า x = y แล้ว x + z = y + z เมื่อ z แทนจำนวนใดๆ

จากการใช้สมบัติของการเท่ากันข้างต้นเป็นไปตาม สมบัติการบวก ซึ่งกล่าวได้ว่า

จำนวนที่นำมาบวกกันแต่ละจำนวนที่เท่ากันนั้น อาจจะเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบก็ได้ ในกรณีที่บวกด้วยจำนวนลบ มีความหมายเหมือนกับนำจำนวนบวกมาลบออกจากจำนวนทั้งสองข้างของสมการ คือ
ถ้า a = b แล้ว a + (-c) = b + (-c) หรือ a – c = b – c เมื่อ a , b และ c แทนจำนวนใดๆ นั่นคือ

4.สมบัติการคูณ

ถ้ามีจำนวนสองจำนวนเท่ากัน เมื่อนำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งคูณกับแต่ละจำนวนที่เท่ากันนั้น แล้วผลลัพธ์จะเท่ากัน เช่น

1. ถ้า m = n แล้ว 3m = 3n

2. ถ้า x = y แล้ว ax = ay

3. ถ้า a = b แล้ว

4. ถ้า และ แล้ว x = yz

จากการใช้สมบัติของการเท่ากันข้างต้นเป็นไปตาม สมบัติการคูณ ซึ่งกล่าวได้ว่า

การแก้สมการตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น คือ จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรใน

สมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่ารากของสมการ คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่าจงแก้สมการจงหาค่า x (ตัวแปรในสมการ) จงหารากของสมการหรือจงหารคำตอบของสมการ สมการ 2 สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ ทั้งสองต้องเท่ากัน

นิยาม สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า (unknow) และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย “ = ” หรือ ปรากฏทั้งสองข้างแต่เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี x เป็นตัวแปร a , b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 จะอยู่ในรูปแบบสมการเป็น ax + b = 0

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ต้องอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนที่ว่าจำนวน 2 จำนวน

ที่เท่ากันเมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ a – 40 = 25

วิธีทำ a – 40 = 25

นำ 40 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ a – 40 +40 = 25 + 40

a = 65

ระบบเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม. 3