ลอการิทึม-ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Function)
นิยาม
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ { (x,y) ε R+ × R l x = ay หรือ y = logax , a > 0 , a ≠ 1 }
– อ่านว่า logx ฐาน a
– โดเมน คือ R+ และเรนจ์ คือ R (เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R+ ไป R )
– กราฟตัดแกน x ที่จุด (1,0) เพราะถ้า y = 0 แล้ว x = a0= 1
– ถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
– ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
– เนื่องจากเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น logax = logay แล้ว x = y
สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
เมื่อ a ,M,N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a≠1และ k เป็นจำนวนจริง
1. logaMN=logaM+logaN ลอกคูณเท่ากับลอกบวก
2.logaMN=logaM−logaN ลอกหารเท่ากับลอกลบ
3.logaMk=klogaM
4.logaa=1
5.loga1=0
6.logakM=1k logaM
7.logba=1logab
8.logba=logalogb ข้อนี้เป็นการเปลี่ยนฐานล็อก
9. ถ้าสมการล็อกคือ y=logax สามารถเปลี่ยนเป็นสมการเลขยกกำลังได้คือ x=ay
เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า
logax=logay ก็ต่อเมื่อ x=y
และสมบัติที่ต้องนำมาใช้บ่อยในการทำข้อสอบอีกตัวหนึ่งคือ
alogax=x
ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับ 10 การเขียน log10n แทนด้วย logn
*ค่าที่ควรจำ log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771
การหาค่าลอการิทึมสามัญ
การหาค่า log N ทุกจำนวน เมื่อ N เป็นจำนวนจริงบวก (N > 0) โดย N จะอยู่ในรูป N0 x 10 n : 1 ≥ N0 ≥ 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม
N = N0 x 10n : 1 ≥ N0 ≥ 10
log N = log (N0 x 10n)
log N = log N0 + log 10n
log N = log N0 + n
– ลอการิทึมธรรมชาติ คือ ลอการิทึมที่มีฐาน e ซึ่ง e เป็นจำนวนอตรรกยะที่มีค่าประมาณ 2.7182…
การเขียน log e N แทนด้วย ln N
การหาค่าลอการิทึมฐาน e
โดยอาศัยลอการิทึมฐาน10 ดังนี้
ln x = logex = (log x/log e) = (log x/0.4343) = 2.3026 log x
สมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ
ให้ M และN เป็นจำนวนจริงบวก ส่วน p เป็นจำนวนจริง
1.ln MN = ln M + ln N
2.ln (M/N) = ln M – ln N
3.ln M P = P ln M
4.ln 1 = 0
5.ln e = 1
6.ln x = (log x/log e) เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก
7.e ln x = x
