ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

 ลำดับอนันต์

1.  ลำดับ ( Sequence)  คือ

บทนิยาม           ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก  ตัวแรกหรือเซตของจำนวนเต็มบวก และเขียนเรียงตามลำดับได้ดังนี้  f(1),f(2),f(3),…,f(n),…

เรียก f(1)       ว่า พจน์ (term) ที่  1   เขียนแทนด้วย   a₁     

เรียก f(2)       ว่า พจน์ (term)  ที่  2   เขียนแทนด้วย   a₂

เรียก f(3)       ว่า พจน์ (term)   ที่  3  เขียนแทนด้วย   a₃         

                                   .

                            .

                            .

เรียก f(n)       ว่า พจน์ (term)  ที่  n  เขียนแทนด้วย   a_n      

2.  ลำดับจำกัด  ( finite  Sequence)  คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก  n  ตัวแรก เขียนได้ดังนี้     

                         a₁ ,  a_{2  ,}  a₃  , … ,  a_n 

3.  ลำดับอนันต์ ( infinite  Sequence)  คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก  n  ตัวแรก เขียนได้ดังนี้        

                        a₁ ,  a_{2  ,}  a₃  , … ,  a_n ,…

4.  ลำดับเลขคณิต  

บทนิยาม     ลำดับเลขคณิต   คือ  ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1  ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ
และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม

ถ้า  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  a_n+1 ,  … เป็นลำดับเลขคณิต  แล้ว

จะได้  a₂ – a₁  =   a₃ –   a₂   =   …   =   a_n+1 –  a_n    เท่ากับ  ค่าคงที่ 

เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference)    เขียนแทนด้วย  “ d  ”

              จากบทนิยาม                d              =        a_n+1  –   a_n

หรือ      a_n+1        =        a_n    +    d

ตัวอย่าง  จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับ -5 , -1, 3, 7, 11,…

บทนิยาม           ลำดับเลขคณิต  คือ  ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่  n+1 ลบด้วยพจน์ที่  n  มีค่าคงตัว เรียกค่าคงตัวนี้ว่า  ผลต่างร่วม    ใช้  d  แทนผลต่างร่วม  จะได้พจน์ที่  n  ของลำดับเลขคณิตคือ 

                                             a_n =  a₁+(n-1)d

เช่น                   5,8,11,14,17                เป็นลำดับเลขคณิตที่เป็นลำดับจำกัด มี  d = 3

                        -2 , 3 ,8 ,13 , 18           เป็นลำดับเลขคณิตที่เป็นลำดับอนันต์ มี  d = 5

 

5.  ลำดับเรขาคณิต    

บทนิยาม           ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่อัตราส่วนของพจน์ที่  n+1  ต่อพจน์ที่  n  มีค่าคงตัว  เรียกค่าคงตัวนี้ว่า  อัตราส่วนร่วม   ใช้  r   แทนอัตราส่วนร่วม

จะได้พจน์ที่ n   ของลำดับเรขาคณิตคือ    a_n =  a₁r^n-1  เมื่อ   a₁  ไม่เท่ากับ 0 และ r ไม่เท่ากับ  0

เช่น                  1,3,9,27,81            เป็นลำดับเรขาคณิตที่เป็นลำดับจำกัด มี  r = 3

                        7,14 ,28, 56, 112  เป็นลำดับเรขาคณิตที่เป็นลำดับอนันต์ มี  r = 2 

ตัวอย่างที่  จงหาพจน์สุดท้ายของลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก เท่ากับ  3 และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2/3 และจำนวนพจน์เท่ากับ 8

วิธีทำ

จากโจทย์ จะได้ว่า           a_n =  a₁r^n-1

a_n =  3(2/3)^8-1

a_n =  3(2/3)⁷

a_n = 27/36

a_n = 128 / 729

ดังนั้น พจน์สุดท้ายของลำดับเรขาคณิต คือ 128 / 729

ตัวอย่างที่    จงหาพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 4 เท่ากับ 9 และพจน์ที่ 9 เท่ากับ 2187

วิธีทำ

สมมติให้ลำดับเรขาคณิต คือ   a₁,  a₁r, a₁r2,  a₁r3

ดังนั้น                             a4 = a₁r3 = 9

a9 = a₁r8 = 2187

และ     a9 / a4 = a₁r8 / a₁r3 = 2187 / 9

ซึ่งจะได้ว่า                       r5 = 2187 / 9 = 243 = 35

r = 3

เราทราบแล้วว่า พจน์ที่ 4 หรือ a1r3 = 9

ดังนั้น เราจะสามารถหาค่า a₁ ได้ นั่นคือ a₁= 9 / 33 = 1/3

และ ลำดับเรขาคณิต คือ 1/3, 1, 3, 9 …