ลำดับและอนุกรม(Sequences and Series)และแบบฝึกหัด

ลำดับและอนุกรม(Sequences and Series)

1. ลำดับ(Sequences) หมายถึง  ตัวเลขชุดหนึ่งที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดให้
   1. ลักษณะของลำดับมีอยู่ 2 ชนิด คือ ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
   2. ชนิดของลำดับที่นิยมใช้กันอยู่ 2 ชนิดคือ 

1. ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งผลต่างระหว่างสองพจน์ใดที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่เสมอ ค่าคงที่เรียกว่า  ผลต่างร่วม (d)  เช่น  3, 8, 13,18,…  โดยมีผลต่างร่วม d = 8-3 = 5  ต้องตรวจสอบในแต่ละค่าเท่ากันก่อนด้วย จึงจะแน่ใจว่าเป็นลำดับเลขคณิต
2. ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับซึ่งอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่เสมอเรียกค่าคงที่ว่า อัตราส่วนร่วม เช่น  2, 4, 8, 16,… โดยมีอัตราส่วนร่วม r = 4/2 = 2 เท่ากันทุกค่า

 

1. อนุกรม(Series) หมายถึง  ผลบวกของพจน์ต่าง ๆ ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ  สรุปสูตรในตารางข้างล่าง

ชนิด	สูตรการหาลำดับ : an	สูตรอนุกรม : Sn
เลขคณิต	an = a1 + (n-1)d	1.  Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d 2. Sn = (n/2)(a1 + an)
เรขาคณิต	an = a1rn-1	Sn =  a1(rn-1)     เมื่อ  r > 1               (r-1) Sn =   a1(1- rn)  เมื่อ  r < 1                  (1 – r) Sn =       a1       เมื่อ  n →∝, r < 1                  (1-r)

       เมื่อ an  คือ พจน์ที่ n  ของลำดับ a1  คือ พจน์แรกของลำดับ

d  คือ ผลต่างร่วม r  คือ อัตราส่วนร่วม

Sn  คือ อนุกรมที่ n หรือผลบวก n พจน์ของลำดับ

• ลำดับ ( Sequence )

    ความหมายของลำดับ

                       ฟังก์ชันที่โดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกหรือสับเซตของจำนวนเต็มบวกในรูป  เรียกว่า  ลำดับ

                   ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า 

      ลำดับจำกัด (finite      Sequence ) 

                   และในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า

      ลำดับอนันต์ ( infinite sequence )

        ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป กล่าวคือ ถ้า    เป็นลำดับจะเขียนแทนด้วย

       ในกรณีที่  เป็นลำดับอนันต์จะเขียนแทนด้วย

เรียก     ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ

เรียก    ว่า  พจน์ที่  2  ของลำดับ

                           

เรียก    ว่า  พจน์ที่    หรือ พจน์ทั่วไป ( general term )  ของลำดับ

เช่น   ลำดับ  2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20   มี    

                     ,   ,  , 

    ,  และ  

   ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 3 , 4 , 5 , 6 , 7

วิธีทำ จากลำดับจำกัด  3 , 4 , 5 , 6 , 7

จะได้  a1 = 3 = 1 + 2

a2  = 4 = 2 + 2

a3  = 5 = 3 + 2

a4  = 6 = 4 + 2

a5 = 7 = 5 + 2

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ an = n + 2 เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

   ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 2 , 4 , 8 , 16 , 32

วิธีทำ จากลำดับจำกัด  2 , 4 , 8 , 16 , 32

จะได้  a1 = 2 =  21

a2  = 4 =  22

a3  = 8 = 23

a4  = 16 = 24

a5 = 32 =  25

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ an = 2n   เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

• ลำดับเลขคณิต ( arithmetic Sequence )

               บทนิยาม  ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่    ลบพจน์ที่  เป็นค่าคงตัวที่

  เท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก และ เรียกค่าคงตัวนี้ว่า  ผลต่างร่วม (common difference )  

   เขียนแทนด้วย 

  นั่นคือ   

    และมี       เมื่อ    คือ พจน์ที่ 1  และ  คือ  ผลต่างร่วม

ตัวอย่าง 1  จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต   2, 5, 8, 11, 14, …

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 2 , d = 3

a6   =  a5 + d  =  14  +  3  =  17

a7   =  a6 + d  =  17  +  3  =  20

a8   =  a7 + d  =  20  +  3  =  23

a9   =  a8 + d  =  23  +  3  =  26

ดังนั้นสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้คือ  17, 20, 23, 26

ตัวอย่าง 2  จงหาพจน์ที่ 30 ของลำดับเลขคณิต  1, 8, 15, 22, …

วิธีทำ 1, 8, 15, 22, …  เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 1 ,  d = 7

จาก   an = a1 + (n-1)d

จะได้ an = 1  + (30-1)(7)

an = 1 + (29)(7)

an = 1 + 203

an = 204

ตัวอย่าง 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต  8, 3, -2, -7, …

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 8 , d = -5

จาก   an = a1 + (n-1)d

an = 8 + (n-1)(-5)

an = 8 -5n + 5

an = -5n + 13

ตัวอย่าง 4 ถ้า  3, a, b, c, d, e, f, g, 35   เป็นเก้าพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต   จงหา f

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 3 , a9 = 35

จาก   an = a1 + (n-1)d

a9 = a1 + 8d

35 = 3 + 8d

32    = 8d

d     =  4

หา f ซึ่งเป็นพจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิตจาก   an = a1 + (n-1)d

a7 = a1 + 6d

a7 = 3  + 6(4)

a7 = 3  + 24

a7 = 27

ดังนั้น  f มีค่าเท่ากับ 27

ตัวอย่าง 5 จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี  a5 = 19  และ a20 = 64

วิธีทำ จาก   an = a1 + (n-1)d

a5  =  a1 +  4d           และ  a20 =  a1 +  19d

จะได้ 19 = a1  +  4d ……….(1)

64 = a1  +  19d ……….(2)

(2)  –  (1)            45 =   15d

d = 3

แทนค่า d  =  3  ในสมการ (1)

a1  +  4d = 19

a1  + 4(3) = 19  

a1 = 19  –  12

a1 = 7

ดังนั้นพจน์แรกของลำดับเลขคณิตหรือ a1 = 7

ตัวอย่าง 6  จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง  6 และ 20  ที่ทำให้จำนวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์เรียงกันใน

ลำดับเลขคณิต

วิธีทำ ให้ a เป็นจำนวนที่ต้องการ  จะได้ลำดับเลขคณิตเป็น  6, a, 20

จากสมบัติของลำดับเลขคณิตจะได้ว่า     a  –  6  =  20  –  a

        a  +  a  =   20  +  6

2a   =  26

  a  =  13

ตัวอย่าง 7  ถ้า   8, a, b, c, 44  เป็น 5 พจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต  จงหา a, b, c

วิธีทำ  จาก      an +1 =  an + d

จะได้ a  =  8  +  d

b  =  a  +  d   =  (8  +  d)  +  d  =  8  +  2d

c  =  b  +  d  =  (8  +  2d)  +  d  =  8  +  3d

44  =  c  +  d  =  (8 +  3d)  +  d  =  8  +  4d

8  +  4d  =  44

      4d   =  44  –  8

        4d  =  36

          d  =  9

ดังนั้น  a = 8 + 9 = 17

b = 17 + 9 = 26

c = 26 + 9 = 35

ตัวอย่าง 8 จงหาว่าระหว่าง 1000  กับ  2000  มีจำนวนที่หารด้วย  7  ลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ จำนวนแรกที่มากกว่า 1000 และ 7  หารลงตัวคือ  1001

จำนวนสุดท้ายที่น้อยกว่า 2000 และ 7 หารลงตัวคือ  1995

ลำดับเลขคณิตที่เกิดขึ้นคือ  1001, 1008, 1015, …, 1995   มี a1 = 1001 , d = 7 , an = 1995

จาก   an = a1 + (n-1)d

      1995 = 1001  +  (n-1)7

      1995  –  1001   =      (n-1)7

994 =  (n-1)7

142 =   n-1

n =   142 + 1

n =   143

ดังนั้นระหว่าง 1000  กับ  2000  มีจำนวนที่หารด้วย  7  ลงตัวทั้งหมด  143  จำนวน

แบบฝึกหัด

1. ให้นักเรียนช่วยกันพิจารณาลำดับต่อไปนี้ ว่าลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต และลำดับใดไม่เป็นลำดับเลข-คณิต พร้อมให้เหตุผลประกอบ

1) 1 , 2 , 3 , … , n , … =………………… 2) 1 , 3 , 9 , … , 3n – 1 , …=……………………

3) –5 , 25 , -125 , … , (-5)n , …=………………… 4) 2 , 4 , 6 , … , 2n , …  =…………………

5) 1 , , , … , , … =………………… 6) 1 , , , , …     =…………………

7) , 3 , 6 , 12 , …   =………………… 8) 3 , 8 , 13 , 18 , …       =…………………

คำสั่ง   จงนำความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตที่ได้จากใบความรู้ที่ 4 ใช้ในการแก้ปัญหาดังต่อไปนี้

1.จงตรวจว่าลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่

ข้อ	ลำดับ	ผลต่างร่วม	เป็นลำดับเลขคณิต
1	2, 6, 10, 14, …
2	3, 9, 12, 15, 18, …
3	5, 11, 17, 23, 29, …
4	10, 20, 40, 80,
5	-7, -5, -3, -1, 2, 4, …
6	5, 10, 15, 20, …
7	1, 2, 4, 8, 16, …
8	90, 80, 70, 60, 50, …
9	-10, -13, -16, -19, -21, …
10	1.2, 1.4, 1.6, 1.8, …

2. จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต   5, 8, 11, 14, …

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = ….. , d = …….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

ดังนั้นสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้คือ  ………………………………………….

3. จงหาพจน์ที่ 50 ของลำดับเลขคณิต  -5, -1, 3, 7, 11, …

วิธีทำ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = …….. ,  d = …………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

4. จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต  8, 12, 16, 20, …

วิธีทำ      ……………………………………………………………………………………………..……………………

5. ถ้า   5, a, b, c, 29    เป็นห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต  จงหา a, b, c

วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถ้า  3, a, b, c, d, e, f, g, h, i, 52   เป็นสิบเอ็ดพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต   จงหา f

วิธีทำ…………………………………………………………………………………………………………………..

 7.จงหาพจน์ที่สิบ  ของลำดับเลขคณิตที่มี  a6 = 15  และ a20 = 43

วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………..

8. จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง  16 และ 36  ที่ทำให้จำนวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต

วิธีทำ……………………………………………………………………………………………………………

9. ถ้า   7, a, b, c, 39  เป็นห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต  จงหา a, b, c

วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………

    

10.จงหาว่าระหว่าง 2000  กับ  3000  มีจำนวนที่หารด้วย  9  ลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ……………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 9 จงเขียน  5  พจน์แรกของลำดับในข้อต่อไปนี้

1. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างที่ 10  กำหนดลำดับเลขคณิต  24 , 19 , 14 , 9 , … , – 46  จงหาว่าลำดับนี้มีกี่พจน์ 

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างที่ 11  กำหนดลำดับเลขคณิต  5 , 8 , 11 , 14 , .  .  . , 77   จงหาว่าลำดับนี้มีกี่พจน์ 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างที่ 12  จำนวนเต็มตั้งแต่ 16  ถึง 775 ที่หารด้วย 3 ลงตัว มีกี่จำนวน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกหัดที่ 3

ให้นักเรียนแสดงวิธีหาคำตอบของคำถามต่อไปนี้

1. จงหาพจน์ทั่วไป (an) และ 5 พจน์ถัดไปของลำดับต่อไปนี้

1. ถ้าลำดับ คือ 5 , 6 , …    

……………………………………………………………………………………………………

1. ถ้าลำดับ คือ 8 , 9 , 10 , … 

 ……………………………………………………………………………………………………

1. ถ้าลำดับ คือ 4 , 8 , 12 , 16 , … 

……………………………………………………………………………………………………

1. ถ้าลำดับ คือ 3 , 9 , 27 , … 

……………………………………………………………………………………………………

1. ถ้าลำดับ คือ 0.2 , 0.02 , 0.002 , … 

……………………………………………………………………………………………………

1. ถ้าลำดับ คือ 5 , – 6 , 7 , … 

……………………………………………………………………………………………………

1. ถ้าลำดับ คือ , , , … 

……………………………………………………………………………………………………

2. ถ้าลำดับเลขคณิตคือ 0 , 8 , 16 , 24 , … จงหาพจน์ที่ 18 และพจน์ที่ n

………………………………………………………………………………………………

3. ถ้าลำดับเลขคณิตคือ 1 , -1 , -3 , -5 , … จงหาพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ n

…………………………………………………………………………………………………

4. ถ้าลำดับเลขคณิตคือ m , m + 5 , m +10 , m + 15 , … จงหาพจน์ที่ 24 และพจน์ที่ n

………………………………………………………………………………………………