ลําดับและอนุกรม ม.6

ลําดับและอนุกรม ม.6

 ลำดับและการเขียนลำดับ

ลำดับ (Sequences) หมายถึง ตัวเลขชุดหนึ่งที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดให้

นิยาม : ฟังก์ชันที่มีโดเมน (Domain) (สมาชิกตัวหน้า) เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 และมีเรนจ์ (Range) (สมาชิกตัวหลัง) เป็นเซตของจำนวนจริง

แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ

1. ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก { 1, 2, 3, …, n } เรียกว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence)

2. ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก { 1, 2, 3, … } เรียกว่า ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)

โดยทั่วไปแล้วการเขียนฟังก์ชันเรามักจะใช้ตัว f, g ,h เป็นตัวบอกฟังก์ชัน แต่สำหรับลำดับ จะใช้ตัว a ในการเขียนแทน นั่นคือ a(x) หรือสามารถเขียนแทนได้ด้วย ax เช่น a(1) แทนด้วย a1 , a(n) แทนด้วย an เป็นต้น

ลำดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่งออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่

• ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n }
• ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

• ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)
  ตัวอย่าง
  1, 3, 5, 7, 9 …. มี d = 2
  9, 6, 3, 0, …. มี d = -3
• ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นอัตราส่วนร่วม (r)
  ตัวอย่าง
  3, 6, 12, 24 …. มี r = 2
  2, -4, 8, -16 … มี r = -2

ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับเลขอนุกรม มีค่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย

ลำดับเว้นระยะ เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด เป็นลำดับอนุกรมที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมาและใช้ค่าแตกต่างที่เป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลขอนุกรมลำดับถัดไป

ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่อาจเป็นเลขยกกำลัง

อนุกรม คือ ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน โดยที่

• ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว่า  อนุกรมจำกัด
• และ ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับอนันต์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมอนันต์

จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … โดยทั่วไปจะเรียก

• a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม
• a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
• a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม
• an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลําดับเลขคณิต อธิบายได้ว่า

เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี a 1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต ซึ่งจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

อนุกรมเรขาคณิต คือ ผลบวกของลําดับเรขาคณิต โดยอนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิตจะเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต โดยจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเรขาคณิต