วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง อสมการ

การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้อสมการ  คือ  การหาคำตอบของอสมการ ที่ผ่านมานักเรียนแก้อสมการโดย
การลองแทนค่าตัวแปรในอสมการ  แต่อาจไม่สะดวกเมื่ออสมการมีความซับซ้อน  เช่น
เมื่อต้องการแก้อสมการ 2x+3 < -6 นักเรียนจะพบว่าเป็นการยากที่จะหาคำตอบของอสการ
นี้โดยการลองแทนค่าตัวแปร
เพื่อความรวดเร็วในการแก้อสมการ เราจะใช้สมบัติของการไม่เท่ากันในการหาคำตอบ
ได้แก่ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากันและสมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน

สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน  เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ
1.ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
2.ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c

ตัวอย่าง   ถ้า     10 < 12     แล้ว   10 + 5 < 12 + 5
หรือ   15  <  17
ถ้า      25 ≤ 30   แล้ว   25+10 ≤ 30+10
หรือ   35 ≤  40
เนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a ≤ b มีวามหมายเช่นเดียวกับ
b ≥  a  ดังนั้นสมบัติการบวกของการไม่เท่ากันจึงเป็นจริงสำหรับกรณี a > b และ a ≥ b
ด้วยดังนี้
เมื่อ a, b และ c แทนด้วยจำนวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2.ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c
สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน
ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ
1. ถ้า   a < b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac < bc
2. ถ้า  a  b  และ  c  เป็นจำนวนจริงบวก  แล้ว  ac ≤  bc
3. ถ้า  a < b และ c เป็นจำนวนจริงลบ   แล้ว ac > bc
4. ถ้า  a  b  และ  c  เป็นจำนวนจริงลบ   แล้ว  ac ≥  bc

ตัวอย่าง  1. ถ้า     5 < 7         แล้ว      5  2 < 7 2                  จะได้    10    <   14
2. ถ้า    12 ≤ 15      แล้ว      12 3 ≤15 3              จะได้    36    ≤ 45
3. ถ้า    20 < 30       แล้ว      20  (-4) > 30 (-4)        จะได้    -80   > -120
4. ถ้า   100 ≤ 200   แล้ว      100 (-5) ≥ 200 (-5)   จะได้    -500 ≥ 1000

และเนื่องจาก  a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a≤ b มีความหมายเช่นเดียว
กับ b ≥ a ดังนั้น สมบัติการคูณของการไม่เท่ากันจึงเป็นจริงสำหรับกรณีที่ a > b และ a ≥ b
ด้วยดังนี้
3.        ถ้า   a > b  และ  c  เป็นจำนวนจริงบวก  แล้ว  ac >  bc
4.        ถ้า  a ≥ b  และ  c  เป็นจำนวนจริงบวก  แล้ว  ac ≥ bc
5.        ถ้า  a > b  และ  c  เป็นจำนวนจริงลบ   แล้ว  ac <  bc
ถ้า  a ≥ b  และ  c  เป็นจำนวนจริงลบ   แล้ว  ac ≤  bc

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
คุณเคยแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมาแล้ว  ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวก็สามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน  โดยมีขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1      วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์กำหนดอะไรมาให้และให้หาอะไร
ขั้นที่ 2      กำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้มาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา
ขั้นที่ 3      เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย์
ขั้นที่ 4     แก้อสมการเพื่อหาคำตอบที่โจทย์ต้องการ
ขั้นที่ 5     ตรวจสอบคำตอบที่ได้กับเงื่อนไขคำอบในโจทย์

ตัวอย่างที่ 1      ป้องซื้อน้ำดื่มขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้ำขวดเล็กราคาขวดละ 5 บาท ขายน้ำขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่าป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมากกี่ขวด
วิธีทำ          ให้ป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขาย x ขวด
จะได้ว่า ป้องซื้อน้ำขวดกลางมาขาย 200-x ขวด
ขายน้ำขวดเล็กได้เงิน 5x บาท
ขายน้ำขวดกลางได้เงิน 8(200-x) บาท
ขายน้ำทั้งหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท
จะได้อสมการเป็น
5x + 8[200-x] – 1,200 > 250
5x + 1,600 – 8x -1,200 > 250
-3x + 400 > 250
-3x      > 250 – 400
-3x      > -150
x        <
x        < 50
ตรวจสอบ    ถ้าป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
จะต้องซื้อน้ำขวดกลางมาขายอย่างน้อย 200-49 = 151 ขวด
ขายน้ำขวดเล็ก               49 ขวด           เป็นเงิน   549 = 245 บาท
ขายน้ำขวดกลาง   151 ขวด          เป็นเงิน   8,151= 1,208 บาท

ขายน้ำทั้งหมดได้เงิน 245+1,208 = 1,453 บาท
คิดเป็นกำไร 1,453-1,200 = 253 บาท
กำไร 253 มากกว่า 250 บาทซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
ดังนั้น ป้องซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
ตอบ     49 ขวด

ตัวอย่างที่ 2 พิณมีเงินสะสมอยู่จำนวนหนึ่ง วันหนึ่งพ่อให้เงินพิณเป็นพิเศษ 600 บาท วันรุ่งขึ้นพิณซื้ออาหารให้แมว
และนกที่เลี้ยงไว้เป็นเงิน 420 บาท พิณรู้ว่ายังเหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเงินของพิณและเงินที่พ่อให้รวมกัน
จงหาว่าเดิมพิณมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อยกี่บาท
วิธีทำ           ให้  เดิมพิณมีเงินสะสมอยู่ x บาท
เงินของพิรและเงินที่พ่อให้รวมกันเป็น x+600 บาท
หลังจากพิณซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท เหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของ x+600 บาท
จะได้อสมการเป็น
x+600-420   ≥  (x+600)
x+180  ≥   x+300
X  –  x   ≥   300-180
≥   120
X  ≥   240
ตรวจสอบ    ถ้าพิณมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาท
เมื่อรวมกับเงินที่พ่อให้ 600 บาท พิณจะมีเงินรวมกันอย่างน้อย240+600 = 840 บาท
หลังจากซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท
จะเหลือเงินอีกอย่างน้อย 840-420 = 420 บาท เงิน 420 บาท ไม่น้อยกว่า ของ 840 บาท ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
ดังนั้น พิณมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาท
ตอบ     240 บาท