สถิติและความน่าจะเป็น (Statistics and probability)

ความน่าจะเป็นและสถิติเป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด ทั้งสองใช้คำศัพท์เดียวกันมากและมีหลายจุดติดต่อระหว่างทั้งสอง เป็นเรื่องปกติมากที่จะไม่เห็นความแตกต่างระหว่างแนวคิดความน่าจะเป็นและแนวคิดทางสถิติ หลายครั้งเนื้อหาจากทั้งสองเรื่องนี้รวมกันเป็นก้อนภายใต้หัวข้อ“ ความน่าจะเป็นและสถิติ”

สถิติ

สถิติ (Statistic) หมายถึง
1. ตัวเลขแทนปริมาณจำนวนข้อมูล หรือข้อเท็จจริงของสิ่งต่าง ๆ ที่คนโดยทั่วไปต้องการศึกษาหาความรู้ เช่นต้องการทราบปริมาณน้ำฝนที่ตกในกรุงเทพมหานครปี 2541 เป็นต้น
2. ค่าตัวเลขที่เกิดจากการคำนวณมาจากกลุ่มตัวอย่าง(Sample) หรือคิดมาจากนิยามทางคณิตศาสตร์ เช่นคำนวณหาค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน ค่าที่คำนวณได้เรียกว่าค่าสถิติ ( A Statistic) ส่วนค่าสถิติทั้งหลายเรียกว่า ค่าสถิติหลาย ๆ ค่า (Statistics)
3. วิชาการแขนงหนึ่งที่จัดเป็นวิชาวิทยาศาสตร์ และเป็นทั้งวิทยาศาสตร์บริสุทธิ์และวิทยาศาสตร์ประยุกต์ และยังหมายรวมถึงระเบียบวิธีการสถิติอันประกอบไปด้วยขั้นตอน 4 ขั้นตอนที่ใช้ในการศึกษาได้แก่

การเก็บรวบรวมข้อมูล(Collection of Data)
การนำเสนอข้อมูล(Presentation of Data)
การวิเคราะห์ข้อมูล (Analysis of Data)
การวิเคราะห์ข้อมูล (Analysis of Data)

ข้อมูล(Data) หมายถึง รายละเอียดข้อเท็จจริงของสิ่งต่าง ๆ ทั้งที่เป็นรูปธรรมและนามธรรมซึ่งตรงกับสิ่งที่ผู้วิจัยต้องการศึกษา

ประเภทของวิชาสถิติ แบ่งประเภทตามลักษณะของข้อมูลได้เป็นสองประเภทคือ

สถิติเชิงอนุมาน(Inductive Statistics) หมายถึง สถิติที่ใช้จัดกระทำกับข้อมูลที่ได้มาเพียงบางส่วนของข้อมูลทั้งหมด
สถิติเชิงบรรยาย(Descriptive Statistics) หมายถึง สถิติที่ใช้จัดกระทำกับข้อมูลที่ได้มาเฉพาะเรื่องใดเรื่องหนึ่ง

การนำเสนอข้อมูล หมายถึง การจัดระบบข้อมูลให้เป็นหมวดหมู่ เป็นประเภทตามลักษณะของการวิจัย เพื่อความชัดเจนในการวิเคราะห์ข้อมูลและการแปลความหมายของข้อมูล

การแจกแจงความถี่ (Frequency distribution table) จำแนกออกเป็น 2 ลักษณะ คือ

แจกแจงข้อมูลเป็นตัว ๆ ไป ใช้กับข้อมูลดิบที่มีจำนวนไม่มากนัก
แจกแจงข้อมูลเป็นช่วงคะแนน (อันตรภาคชั้น)

หลักการสร้างตารางแจกแจงความถี่
1. พิจารณาจำนวนข้อมูลดิบทั้งหมดว่ามีมากหรือน้อยเพียงใด
2. หาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของข้อมูลดิบที่มีอยู่
3. หาค่าพิสัยของข้อมูลนั้นจากสูตร

พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด

4. พิจารณาว่าจะแบ่งเป็นกี่ชั้น(นิยม 5 – 15 ชั้น)
5. หาความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น จากสูตร (นิยมปรับค่าให้เป็น 5 หรือ 10 )

ความกว้างของอันตรภาคชั้น = พิสัย/จำนวนชั้น

6. ควรเลือกค่าที่น้อยที่สุด หรือค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นให้เป็นค่าที่สังเกตได้ง่ายๆ

ฮิสโตแกรม (Histogram) หรือแท่งความถี่ คือ การแจกแจงความถี่ข้อมูลโดยใช้กราฟแท่ง เพื่อให้เกิดความเป็นรูปธรรมของข้อมูลมากยิ่งขึ้นและง่ายต่อการวิเคราะห์ หรือตีความหมายข้อมูล

ค่ากลางของข้อมูล มีทั้งหมด 6 ชนิด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือตัวกลางเลขคณิต(arithmetic mean)
มัธยฐาน(median)
ฐานนิยม(mode)
ตัวกลางเรขาคณิต(geometric mean)
ตัวกลางฮาโมนิค (harmonic mean)
ตัวกึ่งกลางพิสัย(mid-range)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือตัวกลางเลขคณิต (arithmetic mean)
หลักในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

นำข้อมูลทั้งหมดมารวมกัน
นำผลรวมที่ได้จากข้อ 1 มาหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด
ผลหารที่ได้ในข้อ 2 คือ ค่าเฉลี่ย

มัธยฐาน (median) คือ ค่ากลางของข้อมูลที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมดหลังจากเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมากหรอจากมากไปน้อย

ฐานนิยม (mode) คือ ค่ากลางของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในชุดข้อมูลนั้น

ความรู้เดิมที่ผู้เรียนต้องทราบ

1. ข้อความคาดการณ์ เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้ง แล้ว
รวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะน าไปสู่ข้อสรุป ซึ่งเชื่อว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุด แต่ยังไม่ได้พิสูจน์
ว่าเป็นจริง
2. อัตราส่วนและร้อยละ ( Ratio and Percent )
อัตราส่วน คือ การเปรียบเทียบจ านวนสิ่งของชนิดเดียวกันตั้งแต่สองจ านวนขึ้นไป เช่นการแข่งขันฟุตบอลระหว่างทีมไทยกับทีมเวียดนาม คาดว่าไทยจะชนะ 5 ต่อ 2 ร้อยละ คือ เศษส่วน หรืออัตราส่วนที่มีส่วนเป็น 100 อาจแทนด้วยค าว่า “ เปอร์เซ็นต์ (%) ”

ความน่าจะเป็น ( Probability )

ในชีวิตประจ าวันเรามักจะได้ยินค าพูดที่เกี่ยวกับการคาดคะเน การท านาย โอกาส หรือความ เป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ที่กล่าวถึง แต่ไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะเกิดขึ้น
หรือไม่ จนกว่าจะถึงเวลาที่กำหนดจำนวน

ความรู้เดิมที่ผู้เรียนต้องทราบ

1. ข้อความคาดการณ์ เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้ง แล้ว
รวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะน าไปสู่ข้อสรุป ซึ่งเชื่อว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุด แต่ยังไม่ได้พิสูจน์
ว่าเป็นจริง
2. อัตราส่วนและร้อยละ ( Ratio and Percent )
อัตราส่วน คือ การเปรียบเทียบจ านวนสิ่งของชนิดเดียวกันตั้งแต่สองจ านวนขึ้นไป เช่น
การแข่งขันฟุตบอลระหว่างทีมไทยกับทีมเวียดนาม คาดว่าไทยจะชนะ 5 ต่อ 2
ร้อยละ คือ เศษส่วน หรืออัตราส่วนที่มีส่วนเป็น 100 อาจแทนด้วยค าว่า “ เปอร์เซ็นต์ (%) ”

ความน่าจะเป็น ( Probability ) ในชีวิตประจ าวันเรามักจะได้ยินค าพูดที่เกี่ยวกับการคาดคะเน การท านาย โอกาส หรือความ เป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ที่กล่าวถึง แต่ไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะเกิดขึ้น หรือไม่ จนกว่าจะถึงเวลาที่กำหนดจำนวนจำนวนหนึ่งที่บ่งบอกถึงโอกาสมากน้อยที่จะเกิดแต่ละเหตุกาณ์นั้น ในทางคณิตศาสตร์ เรียกจำนวนนั้นว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ได้มีการศึกษาอย่างจริงจังเมื่อ ค.ศ.1654 หลังจาก
เชอวาลิเอ เดอ เมเร ( Chevalier ed Mere ) นักการพนันชาวฝรั่งเศสแพ้การพนัน เมื่อเขาได้ท้า พนันกับนักการพนันอื่นๆว่า “เมื่อทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง จะมีอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่ขึ้น
แต้ม 6 ทั้งสองลูก” เดอเมเร สงสัยว่าท าไมจึงเป็นเช่นนั้น เขาจึงน าปัญหานี้ไปถาม เบลล์ ปาสกาล( Blaise Pascal ) นักคณิตศาสตร์ผู้เป็นเพื่อนของเขา และปาสกาลก็ได้น าปัญหาเดียวกันนี้ไปปรึกษา ปีแยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat) เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขา ทั้งสองจึงได้
ทำการศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างจริงจัง จนได้ค าตอบว่า ถ้าโยนลูกเต๋า
ที่เที่ยงตรงสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าจะหงายขึ้นแต้ม 6 ทั้ง
สองลูกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง เท่ากับ 0.4914 หรือประมาณ ค่าความน่าจะเป็นข้างต้นเป็น
หลักฐานยืนยันว่าเพราะเหตุใด เดอเมเร จึงแพ้พนันมากกว่าจะชนะพนัน

การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในทางคณิตศาสตร์

1. การทดลองสุ่ม ( Random Experiment ) คือ การทดลองที่เราไม่สามารถบอก
ล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากแต่ละการกระท าจะเป็นอะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้าง
ที่จะเกิดขึ้นได้ เช่น
โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจออกหัวหรืออกก้อย
ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจเป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6
การกระท าบางอย่างที่เราทราบผลลัพธ์ได้แน่นอนไม่ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เช่น น า 2 บวก
กับ 3 ผลลัพธ์เป็น 5
2. แซมเปิลสเปซ ( Sample Space ) คือ กลุ่มของผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดจากการ
ทดลองสุ่ม นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทน แซมเปิลสเปซ เช่น
โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ถ้า H แทนการออกหัว และ T แทนการออกก้อย ผล
ในแซมเปิลสเปซ คือ H , T
โยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ผลในแซมเปิลสเปซ คือ ( H , H ) , ( H , T ) ,
( T , H ) , ( T , T ) , ( H , H ) หมายถึง เหรียญอันแรกออกหัว และเหรียญอันที่สองออกหัว
( H , T ) หมายถึง เหรียญอันแรกออกหัว และเหรียญอันที่สองออกก้อย
ข้อสังเกต
1. โยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง กับ โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง ผลในแซมเปิลสเปซได้
เหมือนกัน
2. ( H , T ) กับ ( T , H ) ไม่เหมือนกัน เพราะถืออันดับของการเกิด
3. ( H , T ) หมายถึง เหรียญอันแรกหรือโยนครั้งแรกออกหัว และเหรียญอันที่สอง
หรือโยนครั้งที่สองออกก้อย
4. ( T , H ) หมายถึง เหรียญอันแรกหรือโยนครั้งแรกออกก้อย และเหรียญอันที่สอง
หรือโยนครั้งที่สองออกหัว
โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลของแซมเปิลสเปซ คือ 1, 2, 3, 4, 5 , 6 จากการ
ทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซที่กล่าวมา เพื่อความสะดวก ถ้าให้กลุ่มของผลการทดลองสุ่ม ถูกล้อม
รอบด้วยวงเล็บ * + เราสามารถเขียนแซมเปิลสเปซ (S) ได้

3. เหตุการณ์ ( Events ) คือ สิ่งที่สนใจจะพิจารณาจากการทดลองสุ่ม เป็นกลุ่มย่อย
ของแซมเปิลสเปซ นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนเหตุการณ์ เช่น
เหตุการณ์ของการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง แล้วเหรียญออกหัว ผลคือ
ถ้าให้ แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัว

4. จำนวนผลที่เกิดขึ้นในแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์

โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง เขียนแซมเปิลสเปซ ได้ คือ
ผลที่เกิดขึ้นเท่ากับ 4 คู่
อันดับ ถ้าให้ แทน จ านวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซแล้ว แล้ว ( )
แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวอย่างน้อย 1 อัน
ผลที่ได้มี 3 คู่อันดับ
ถ้าให้ แทน จ านวนสมาชิกในเหตุการณ์ แล้ว
5. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ให้ แทน เหตุการณ์ใดๆที่เป็นส่วนหนึ่งของแซมเปิลสเปซ
แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
6. สมบัติความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ
ถ้า เป็นแซมเปิลสเปซ และ เป็นเหตุการณ์ใดๆในแซมเปิลสเปซ
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ ( )
2. ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปซเท่ากับ 1 หรือ ( )
3. ถ้า แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์
แล้วแทน ความน่าจะเป็นที่ไม่เกิดเหตุการณ์

วิธีทำ เขียนแซมเปิลสเปซได้คือ

5 ดึงไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่ 1 ส ารับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้
1. ไพ่โพแดง 2. Jack
วิธีท า ไพ่ส ารับหนึ่งมี 52 ใบ แบ่งออกเป็น 4 ชุด คือ โพแดง โพดด า ดอกจิก และ
ข้าวหลามตัด มีชุดละ 13 ใบ แต่ละชุดมีไพ่ 13 ชนิด คือ แต้ม 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, J, Q, K และ A มีชนิดละ 4 ใบ
1. จ านวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซเท่ากับ 52

จำนวนสมาชิกในเหตุการณ์เท่ากับจ านวนไพ่โพแดงซึ่งเท่ากับ 13

หนึ่งที่บ่งบอกถึงโอกาสมากน้อยที่จะเกิดแต่ละเหตุกาณ์นั้น ในทางคณิตศาสตร์
เรียกจ านวนนั้นว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ได้มีการศึกษาอย่างจริงจังเมื่อ ค.ศ.1654 หลังจาก
เชอวาลิเอ เดอ เมเร ( Chevalier ed Mere ) นักการพนันชาวฝรั่งเศสแพ้การพนัน เมื่อเขาได้ท้า
พนันกับนักการพนันอื่นๆว่า “เมื่อทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง จะมีอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่ขึ้น
แต้ม 6 ทั้งสองลูก” เดอเมเร สงสัยว่าท าไมจึงเป็นเช่นนั้น เขาจึงน าปัญหานี้ไปถาม เบลล์ ปาสกาล
( Blaise Pascal ) นักคณิตศาสตร์ผู้เป็นเพื่อนของเขา และปาสกาลก็ได้น าปัญหาเดียวกันนี้ไป
ปรึกษา ปีแยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat) เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขา ทั้งสองจึงได้
ท าการศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างจริงจัง จนได้ค าตอบว่า ถ้าโยนลูกเต๋า
ที่เที่ยงตรงสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าจะหงายขึ้นแต้ม 6 ทั้ง
สองลูกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง เท่ากับ 0.4914 หรือประมาณ ค่าความน่าจะเป็นข้างต้นเป็น
หลักฐานยืนยันว่าเพราะเหตุใด เดอเมเร จึงแพ้พนันมากกว่าจะชนะพนัน