สมบัติของการดำเนินการของเซต ม.4-คณิตศาสตร์ออนไลน์

มาดู สมบัติของการดำเนินการของเซต ม.4

สมบัติของการยูเนียน

ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์

1.) A∪Ø = A

2.) A∪B = B∪A

3.) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

4.) A∪A = A

สมบัติของการยูเนียนและอินเตอร์เซกชัน

• สมบัติการสลับที่

1. A∪B=B∪AA∪B=B∪A
2. A∩B=B∩AA∩B=B∩A

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

1. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

• สมบัติการแจงแจง

1. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
2. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

สมบัติของการลบกันของเซต

1. A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)
2. A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
3. A−(B−C)=(A∩C)∪(A−B)A−(B−C)=(A∩C)∪(A−B)
4. (A−B)∩C=(A∩C)−B=A∩(C−B)(A−B)∩C=(A∩C)−B=A∩(C−B)
5. (A−B)∪C=(A∪C)−(B−C)(A−B)∪C=(A∪C)−(B−C)

สมบัติคอมพลีเมนต์และเพาเวอร์เซต

1. (Ac)c=A(Ac)c=A
2. ∅c=U∅c=U
3. Uc=∅Uc=∅
4. (A∪B)c=Ac∩Bc(A∪B)c=Ac∩Bc
5. (A∩B)c=Ac∪Bc(A∩B)c=Ac∪Bc
6. P(A)∩P(B)=P(A∩B)P(A)∩P(B)=P(A∩B)
7. P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)

สมบัติผลต่างและคอมพลีเมนต์

1. A−B=A∩BcA−B=A∩Bc
2. (A−B)c=Ac∪B(A−B)c=Ac∪B
3. A−Bc=A∩BA−Bc=A∩B

สลับที่

อันนี้ก็ไม่ยาก เอาจริงๆ คือจำไปเลยก็ได้ แต่ถ้าไม่อยากจำก็คิดซะว่า ตัวดำเนินการของเซตมี 4 ตัว ∩,∪,−,′ โดยตัวหลังสุด ′ มันไม่เกี่ยวอยู่และ เพราะว่า มันทำกับ เซต 1 เซต ไม่ใช่ 2 แบบที่เรากำลังทำอยู่ ดังนั้นก็เหลือ ∩,∪,− สามตัว ตัวสุดท้ายคือ ผลต่าง ให้คิดเหมือนเครื่องหมายลบ ถ้าน้องมี 2−5 กับ 5−2 แล้ว ผลลัพธ์มันไม่เท่ากันถูกมั้ยครับ อันแรกคือ −3 อันสองคือ 3 ดังนั้นการลบไม่มีสมบัติการสลับที่

เปลี่ยนกลุ่ม

เหมือนเดิมอันนี้คือผลต่างไม่มีสมบัตินี้ อันนี้คือสมบัติเมื่อเครื่องหมายเหมือนกันทั้งหมด

แจกแจง

ความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซต

          การพิจารณาขนาดและสมาชิกของเซต 2 เซตทำให้เราสามารถบอกความสัมพันธ์ระหว่างเซตทั้งสองเซตได้ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ A = {x, x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 10 และ  2หารได้ลงตัว} และ B = { x, x=2k เมื่อ k = 1,2,3,4,5 } จะเห็นว่าเซต A และ เซต B ถูกกำหนดด้วยภาษาที่แตกต่างกันแต่เมื่อพิจารณาสมาชิกแล้วจะพบว่าทั้งเซต A และ เซต B เขียนแจงแจงสมาชิกได้คือ { 2, 4, 6, 8, 10 } นั้นหมายความว่า เซต A และ เซต B เป็นเซตเดียวกันนิยามด้วยการเท่ากันของเซตดังนี้

          A = B ก็ต่อเมื่อ สามาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาขิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A

สังเกตได้ว่า A และ B จะต้องมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และเป็นชุดเดียวกันแต่ถ้าหาก A และ B มีจำนวนสมาชิกเท่ากันแต่มีสมาชิกในเซตแตกต่างกันแล้วจะกล่าวว่า เซต A และ เซต B เป็นเซตที่เทียบเท่ากันนิยามดังนี้

          A ~ B ก็ต่อเมื่อ n(A) = n(B)

กำหนดให้ A = { x, x เป็นอักษรสระของภาษาอังกฤษ } และ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } จะเห็นว่า n(A) = 5 = n(B) ดังนั้น A และ B เป็นเซตที่เทียบเท่ากัน สังเกตว่าเซตจำกัดที่มีสมาขิก k ตัวเทียบเท่ากับเซต {1,2,3,…,k } เสมอ

          ในกรณีที่สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B แต่ n(A) น้อยกว่า n(B) เรากล่าวว่า เซต A เซตย่อยแท้ของเซต B แต่ถ้า n(A) น้อยกว่าหรือเท่ากับ n(B) จะกล่าวว่า เซต A เป็นเซตย่อยของเซต B ตัวอย่างเช่นถ้ากำหนดให้ B = { 1,2,3,4,5 } ถ้า A = { 1,4,5 } จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ เซต A มีขนาดเล็กกว่า เซต B สรุปได้ว่า A เป็นเซตย่อยแท้ของเซต B แต่ถ้ากำหนดให้ A ={ 1,3,9 } จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต A ไม่ใช่สมาชิกในเซต B เราสรุปได้ว่า A ไม่เป็นเซตย่อยของเซต B

เราให้นิยามความสัมพันธ์เชิงเซตย่อยของเซตสองเซตได้ดังนี้

      A เป็นเซตย่อยของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

      A เป็นเซตย่อยแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ n(A) ไม่เท่ากับ n(B)

ตัวอย่างการหาเซตย่อยของ A = { { }, { { } } ,{ { }, {{ }} } } เพื่อความสะดวกผู้เขียนจะใช้ e แทนเซตว่างจะได้

A = { e, {e}, {e,{e}} } พบว่า A ประกอบด้วยสมาชิก 3 ตัวคือ e, {e} และ {e, {e}} พิจารณาเซตย่อยคือเซตที่มีสมาขิกน้อยกว่า 3 ตัวได้แก่ เซตที่มีสมาชิก 0 ตัว 1 ตัว 2 ตัว และ 3 ตัวตามลำดับ พิจารณา

เซตที่มีสมาชิก 0 ตัว e มีจำนวน 1 เซต

เซตที่มีสมาชิก 1 ตัว { e } , { {e} }, { { e, {e} } } มีจำนวน 3 เซต

เซตที่มีสมาชิก 2 ตัว { e , {e} }, { e, {e, {e}} }, { {e}, {e, {e}} } มีจำนวน 3 เซต

เซตที่มีสมาชิก 3 ตัว { e, {e}, {e,{e}} } มีจำนวน 1 เซต

จะเห็นว่าเซตย่อยของเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 มี 8 เซต แต่หากพิจารณาเซตย่อยแท้จะมีเพียงเซต 7 เซต (นับเฉพาะเซตที่มีสมาชิกน้อยกว่า 3} นอกจากนี้สังเกตได้ว่าเมื่อพิจารณาถึงเซตย่อยย่อมมีเซตย่อยที่แจ่มชัดอยู่ 2 เซตย่อยเสมอคือเซตว่างและเซตนั้นนั่นเอง หากเรารวมรวมเซตย่อยทั้ง 8 เซตเข้าด้วยกันเป็นเซตใหม่เราเรียกว่า เพาเวอร์เซต นั้นคือ เพาเวอร์เซตของเซตของเซต A คือ เซตของเซตย่อยของเซต A

P(A) = { e, { e } , { {e} }, { { e, {e} } }, { e , {e} }, { e, {e, {e}} }, { {e}, {e, {e}} }, { e, {e}, {e,{e}} }

ขอบคุณข้อมูล https://www.scimath.org/