สมบัติจำนวนจริง-คณิตศาสตร์ม.ปลาย

สมบัติของจำนวนจริง
สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) +c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a · 0 = 0
0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
(-1)a = -a
a(-1) = -a

ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab

เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

การลบจำนวนจริง

บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a- b = a + (-b)

นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์ส

การบวกของ b

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยาม a < b หมายถึง a น้อยกว่า b
a > b หมายถึง a มากกว่า b

สมบัติของการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c หมายถึง a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

ช่วงของจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b

1. ช่วงเปิด (a, b)

(a, b) = { x | a < x < b }

2. ช่วงปิด [a, b]
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
(a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)

[a, b) = { x | a ≤ x < b }

5. ช่วง (a, ∞)

(a, ∞) = { x | x > a}

6. ช่วง [a, ∞)
[a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ช่วง (-∞, a)
(-∞, a) = { x | x < a}

8. ช่วง (-∞, a]
(∞, a] = { x | x ≤ a}

การแก้อสมการ

อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ x + 3 > 12
∴ x + 3 + (-3) > 12 + (-3)
x > 9
∴
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5
วิธีทำ 4x – 5 ≤ 2x + 5
4x – 5 + 5 ≤ 2x + 5 + 5
4x ≤ 2x + 10
4x – 2x ≤ 2x + 10 – 2x
2x ≤ 10

(2x)
≤
(10)
x ≤ 5
∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]

สัจพจน์ของความบริบูรณ์

สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
(Least upper bound axiom)

บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R
S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S”

บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R
a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
1. a เป็นขอบเขตบนของ S

2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b

สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด

ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด

ตัวอย่างที่ 1

ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]

จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6

ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]

จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน

ตัวอย่างที่ 5
ให้ S ≠ Ø
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
การหารลงตัว

บทนิยาม กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n
ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a

ตัวอย่างเช่น 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n

-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

สมบัติการหารลงตัว

ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c

ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b

ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

บทนิยาม จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p

ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

บทนิยาม จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c

ที่ทำให้ c = mn

ตัวอย่างเช่น

จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ขั้นตอนวิธีการหาร

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

ตัวหารร่วม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b

ตัวหารร่วมมาก กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48

ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12

นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

ตัวคูณร่วมน้อย กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น “ตัวคูณร่วมน้อย” (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24

พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, …

พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, …

พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, …

พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72

นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72