ประพจน์ (Propositions หรือ Statements)

          ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็นจริง (True) หรือเท็จ (False) อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ประโยคหรือข้อความที่มีลักษณะดังกล่าว จะอยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้

           ประโยคหรือข้อความที่ไม่มีค่าความจริงไม่จัดเป็นประพจน์ มักจะอยู่ในรูปประโยคคำถาม ประโยคคำสั่ง คำอุทาน ห้าม อ้อนวอน ขอร้อง แสดงความปรารถนา สุภาษิตคำพังเพย หรือประโยคที่ไม่สามารถหาค่าความจริงได้

ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์

1. จังหวัดนราธิวาสอยู่ทางภาคเหนือของประเทศไทย       (เท็จ)
2. ประเทศไทยไม่ได้ตั้งอยู่ในทวีปเอเชีย                      (เท็จ)
3. 0 เป็นจำนวนจริง                                        (จริง)
4. 420 + (-120) = 300                                  (จริง)
5. 12 x (-3) < (-10) x (-2)                               (จริง)
6. ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คือ 1 และ 3                  (เท็จ)
7. เมืองหลวงของพม่าคือ ย่างกุ้ง                            (เท็จ)

 ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์

1. ช่วยเปิดหน้าต่างด้วยคะ                        (ขอร้อง)
2. ทั้งหมดตรง                                    (คำสั่ง)
3. อย่าส่งเสียงดัง                                 (ห้าม)
4. อยากไปเขาใหญ่เหลือเกิน                      (ปรารถนา)
5. โธ่ น่าสงสารจัง                                (คำรำพึง)
6. อุ้ย ! ตกใจหมดเลย                            (อุทาน)
7. เธอจะไปเที่ยวทะเลกับฉันหรือเปล่า            (คำถาม)
8. เขาเป็นนักกวีของไทย                          (หาค่าความจริงไม่ได้)
9. ตารางค่าความจริง คือ ตารางที่สร้างขึ้นเพื่อบอกว่าค่าความจริงของแต่ละประพจน์คืออะไร โดยที่ตารางค่าความจริงจะต้องแสดงค่าความจริงของประพจน์ ในทุกกรณี ซึ่งจำนวนกรณีจะมีค่าเท่ากับ 2จำนวนประพจน์ย่อย2จำนวนประพจน์ย่อย
   

   นิเสธ (∼)(∼)

   นิเสธ คือ การที่เราจะเอาค่าความจริงที่อยู่ตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์นั้น ตารางค่าความจริงของ ‘นิเสธ’ คือ

   pp	∼p∼p
   TT	FF
   FF	TT

   หรือ (∨)(∨)

   หรือ เป็นตัวเชื่อมประพจน์ที่บอกว่า ถ้ามีประพจน์ย่อยใดประพจน์นึงมีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ว่าประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นจริง ตารางค่าความจริงของ ‘หรือ’ คือ

   pp	qq	p∨qp∨q
   TT	TT	TT
   TT	FF	TT
   FF	TT	TT
   FF	FF	FF

   หรือ (∨)(∨) จะให้ค่าความจริงเป็น เท็จกรณีเดียว เท่านั้น คือ F∨FF∨F

   และ (∧)(∧)

   และ เป็นตัวเชื่อมประพจน์ที่บอกว่าประพจน์จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อประพจน์ย่อยทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ตารางค่าความจริงของ ‘และ’ คือ

   pp	qq	p∧qp∧q
   TT	TT	TT
   TT	FF	FF
   FF	TT	FF
   FF	FF	FF

   และ (∧)(∧) จะมีค่าความจริงเป็น จริงกรณีเดียว เท่านั้น คือ T∧TT∧T

   ถ้าแล้ว (→)(→)

   ถ้าแล้ว เป็นตัวเชื่อมที่ประพจน์ที่อยู่หน้าเครื่องหมายถ้าแล้ว จะเป็นเหตุ และ ประพจน์ที่อยู่หลังเครื่องหมายถ้าแล้วจะเป็นผล

   เหตุ→ผลเหตุ→ผล

   ตารางค่าความจริงของ ‘ถ้าแล้ว’ คือ

   pp	qq	p→qp→q
   TT	TT	TT
   TT	FF	FF
   FF	TT	TT
   FF	FF	TT

   ถ้าแล้ว (→)(→) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จกรณีเดียว เท่านั้น คือ T→FT→F

    ก็ต่อเมื่อ (↔)(↔)

   ก็ต่อเมื่อ เป็นตัวเชื่อมที่จะให้ค่าความจริงเป็นเมื่อทั้งสองประพจน์ที่เชื่อมมีค่าความจริงเหมือนกัน ตารางค่าความจริงของ ‘ก็ต่อเมื่อ’ คือ

   pp	qq	p↔qp↔q
   TT	TT	TT
   TT	FF	FF
   FF	TT	FF
   FF	FF	TT

   ตารางค่าความจริงที่มีตัวเชื่อมมากกว่าหนึ่ง

   ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมมากกว่าหนึ่ง สิ่งแรกที่จะต้องรู้คือ เราจะต้องดูตัวเชื่อมตัวไหนก่อน ซึ่งหลักการลำดับของการหาค่าความจริงจะเหมือนกับลำดับของการบวกลบปกติ นั่นคือ ถ้ามีวงเล็บทำในวงเล็บก่อน ถ้าไม่มีวงเล็บให้ทำจากซ้ายไปขวา

10. ประพจน์ที่สมมูลกัน และ สัจนิรันดร์

     ประพจน์ที่สมมูลกัน

         ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

         การทดสอบว่าประพจน์ 2 ประพจน์ สมมูลกัน ทำได้ 2 วิธีคือ

    1.         สร้างตารางแจกแจงค่าความจริง ค่าความจริงต้องตรงกันทุกกรณี

    2.         โดยการใช้หลักความจริงและประพจน์ที่สมมูลกันแบบง่ยๆที่ควรจำ เพื่อแปลงรูปประพจน์ไปเป็น

                  แบบเดียวกัน

      ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้

    p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p

    p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p

    (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)

    (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)

    p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

    p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

    p → q สมมูลกับ ~p ∨ q

    p → q สมมูลกับ ~q → ~p

    p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)

     

      ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

         ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

    ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้

    ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q

    ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q

    ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q

    ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)

    ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

      สัจนิรันดร์

         สัจจะ แปลว่าจริง ส่วนนิรันดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย

    สัจนิรันดร์

    สัจนิรันดร์ หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี (ไม่มีกรณีที่เป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว)

    ซึ่งเรามีวิธีการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ด้วยวิธีการต่างๆ 4 วิธี ได้แก่

    1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง

    2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง

    3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล

    4. การตราจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล

    1.       การตรวจสอบโดยใข้ตารางค่าความจริง

    ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

    วิธีทำ เริ่มด้วยการสร้างตารางค่าความจริง

    p	q	~q	p -> q	~{( p -> q ) ^ p}	~q -> ~{( p -> q ) ^ p}
    T	T	F	T	F	T
    T	F	T	F	T	T
    F	T	F	T	T	T
    F	F	T	T	T	T

    เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เราจึงสรุปได้ว่า

    ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

    ดังนั้น ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์

    2.      การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง

    ในกรณีนี้ เราจะตรวจสอบว่า “ประพจน์นั้นๆ มีโอกาสเป็นเท็จหรือไม่” โดยการสมมติให้ประพจน์นั้นๆ เป็นเท็จ แล้วแสดงให้เห็นว่าข้อสมมตินั้นเป็นไปไม่ได้ ซึ่งมี  2 รูปแบบ คือ

    1. p v q

    จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่

    2. p -> q

    จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ เท่านั้น

    3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล

    การตรวจสอบโดยวิธีนี้ ใช้กับประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ [ (p -> q) ^ p ] -> q หรือรูปแบบอื่นที่แบ่งประพจน์ออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นเหตุ กับ ส่วนที่เป็นผล (ข้อสรุป) ซึ่งประพจน์เขียนอยู่ในรูป เหตุ -> ผล (ข้อสรุป) เหตุอาจจะมี 2-3 ข้อ หรือมากกว่าก็ได้ แต่ทุกข้อต้องเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม

    ในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ ให้ตรวจสอบว่าการให้เหตุผลนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ ถ้าสมเหตุสมผล ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่สมเหตุสมผลจะไม่เป็นสัจนิรันดร์ ละในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้น จะต้องแยกออกเป็นข้อๆ

    ตัวอย่างที่ 3 จงตรวจสอบว่า [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q

    วิธีทำ  แยกประพจน์ออกเป็น เหตุ และ ผล แต่ละข้อ ดังนี้

    เหตุ ได้แก่        1. p -> q

    2. p v r

    3. ~r

    ผล  คือ  q

    จากเหตุข้อที่ 3 เราจะรู้ว่า r มีค่าความจริงเป็นเท็จ

    แทนค่าความจริงของ r ลงในเหตุข้อที่ 2 จะทำให้ได้ค่า p ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

    แล้วจึงแทนค่า p ลงในเหตุข้อ 1 จะได้ค่า q ที่เป็นจริง

    จึงสรุปได้ว่า การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล

    ดังนั้น ประพจน์    [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q   เป็นสัจนิรันดร์

    4.      การตรวจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล

    ซึ่งประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมกันด้วย <-> จะได้ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น

    p -> q ≡ ~p v q

    p -> q ≡ ~q -> ~p

    ~( p ^ q) ≡ ~p v ~q

    P ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)

    ประพจน์ (p∨q)∧p(p∨q)∧p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
    จากประพจน์ที่กำหนดให้ จะมีประพจน์ย่อยทั้งหมดสองประพจน์ ดังนั้นสร้างตารางที่มีประพจน์สองประพจน์นี้ขึ้นมา

    p

    q

    จากนั้นให้เติมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่ง จำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 2ⁿ เมื่อ n คือจำนวนประพจน์ วิธีการเติมที่ง่าย และ ได้ครบทุกกรณีโดยไม่ตกหล่น คือ การเติมแบบกลุ่มกลุ่มละครึ่ง
    เช่น ในข้อนี้ มีประพจน์ทั้งหมด 2 ประพจน์ ดังนั้นจะมีทั้งหมด 2²= 4 กรณี เริ่มแรก เนื่องจากมี 4 กรณี จะได้ว่าครึ่งหนึ่งคือ2 ดังนั้นหลักแรกให้เติม T จำนวนสองตัว และ F จำนวนสองตัว จะได้

    p	q
    T
    T
    F
    F

    จากนั้นให้ ให้ดูครึ่งนึงของ 22 จะได้ 11 ดังนั้นในหลักที่ 22 ให้เติม TT กับ FF สลับกันครั้งละหนึ่งตัว จะได้

    p	q
    T	T
    T	F
    F	T
    F	F

    เราก็จะได้กรณีที่เป็นไปได้ครบทั้งหมด
    จากโจทย์เราต้องการค่าความจริงของประพจน์ (p∨q)∧p(p∨q)∧p จากตารางข้างบนเราไม่มีค่าความจริงของ p∨qp∨q ดังนั้นสร้างหลักของ p∨qp∨q เพิ่ม และเติมค่าความจริงให้เรียบร้อย จะได้

    p	q	p∨q
    T	T	T
    T	F	T
    F	T	T
    F	F	F

    ตอนนี้เรามีค่าความจริงครบทั้งหมดแล้ว ดังนั้นให้สร้างหลักสุดท้าย เป็นหลักของ ประพจน์ที่เราต้องการตรวจสอบ จะได้

    p	q	p∨q	(p∨q)∧p
    T	T	T	T
    T	F	T	T
    F	T	T	F
    F	F	F	F

    จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามีสองกรณีที่ค่าความจริงของประพจน์ที่โจย์ถามนั้นเป็นเท็จ จึง ทำให้ได้ว่า ประพจน์นี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
    ตอบ  ประพจน์ที่กำหนดให้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

    ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง
    ประพจน์ (p∧q)→(p∨q)(p∧q)→(p∨q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
    ใช้หลักการเดียวกันกับข้อข้างบนสร้างตารางค่าความจริง จะได้ตารางดังนี้

    p	q	(p∧q)	(p∨q )	(p∧q )→(p∨q )
    T	T	T	T	T
    T	F	F	T	T
    F	T	F	T	T
    F	T	F	F	T

    จากตารางค่าความจริงที่สร้างขึ้น จะเห็นว่า ทุกกรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ ตอบ  ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์

11. การอ้างเหตุผล คือ

    การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า เมื่อมี ข้อความ (ประพจน์) ชุดหนึ่งแล้วเราสามารถสรุป ข้อความหนึ่งได้ พูดง่าย ๆ ก็คือ การหาผลสรุป จากข้อความ (เหตุ) ที่กำหนดนั่นเอง

    ตัวอย่าง เช่น
    1. ถ้าเราสอบได้ที่หนึ่ง แล้ว แม่จะซื้อโทรศัพท์ใหม่ให้
    2. เราสอบได้ที่หนึ่ง

    เราจะได้ผลสรุป ว่า แม่จะซื้อโทรศัพท์ใหม่ให้

    ประโยคด้านบนอาจจะดูสมเหตุสมผลตามหลักเหตุผลที่เราใช้อยู่ในชีวิตประจำวันอยู่แล้ว แต่ในเรื่องตรรกศาสตร์เรา ก็มีประพจน์อีกหลายรูปแบบที่ สมเหตุสมผล แต่คิดในใจก็อาจจะ งง ๆ เช่น

    1. ถ้า สมศรีสอบได้ที่หนึ่ง แล้ว สมศรีเรียนเก่ง
    2. ถ้า สมชายเรียนต่อต่างประเทศ แล้ว สมชายเก่งภาษาอังกฤษ
    3. สมศรีสอบได้ที่หนึ่ง หรือ สมชายเรียนต่อต่างประเทศ

    ผล คือ สมศรีเรียนเก่ง หรือ สมชายเก่งอังกฤษ

    ถามว่าการสรุปผลด้านบนมีความสมเหตุสมผล ใช่ครับมันสมเหตุสมผล แต่มันก็มองดูยากนิดนึง ถ้าคิดแบบไม่ใช้ตรรกศาสตร์มาช่วย

12. การอ้างเหตุผล

    การอ้างเหตุผลคือ การอ้างว่า เมื่อมีประพจน์ p₁,p₂,…p_n, ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปประพจน์ C ประพจน์หนึ่งได้ การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนสำคัญสองส่วนคือ เหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้ ได้แก่ ประพจน์ p₁,p₂,…p_n, และ ผลหรือข้อสรุป คือ ประพจน์ C โดยใช้ตัวเชื่อม ∧ เชื่อมเหตุทั้งหมด เข้าด้วยกัน และใช้ตัวเชื่อม → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผลดังนี้

    (p₁ ∧ p₂ ∧ … ∧ p_n,) → C

    จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (valid) ถ้ารูปแบบของประพจน์ (p₁ ∧ p₂ ∧ … ∧ p_n,) → C เป็นสัจนิรันดร์ และจะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ถ้ารูปแบบของประพจน์ (p₁ ∧ p₂ ∧ … ∧ p_n,) → C ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลจึงใช้วิธีเดียว กับการตรวจสอบสัจนิรันดร์

    ตัวอย่าง

    กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

    เหตุ

    1. p→q
    2. p

    ผล q

    วิธีทำ ขั้นที่ 1 ใช้ ∧ เชื่อมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผล จะได้รูปแบบของประพจน์คือ [(p → q) ∧ p]→q

    ขั้นที่ 2ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้[(p → q) ∧ p]→q เป็นเท็จ

    

    จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧ p]→q เป็นสัจนิรันดร์

    ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

    ตัวอย่าง

    กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

    เหตุ

    1. p→q
    2. ∼p

    ผล ∼q