สรุปสมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

จำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ (rational number) เป็นจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ และเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้

จำนวนอตรรกยะ (irrational number) เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะซึ่งไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และ

สามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้

การเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยม คือ การนำส่วนไปหารเศษ

การเขียนทศนิยมในรูปเศษส่วน คือ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง หารด้วย 10 2 ตำแหน่งหาร 100 ไปเรื่อยๆๆๆๆ แต่ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำ ใช้วิธีลัด เช่น 0.45• = 45-4/90 = 41/90

ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าจำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนชนิดใดโดยใส่เครื่องหมาย / ลงในช่องให้ถูกต้อง

จำนวน	จำนวนเต็มลบ	จำนวนเต็มบวก	จำนวนคู่	จำนวนคี่	จำนวนตรรกยะ	จำนวนอตรรกยะ
2		/	/		/
-7/2					/
– 5	/			/	/
6		/	/		/
2/5					/
-√2						/
∏						/
2 +√4		/	/		/
3 +√5						/
1.462…						/
5.46					/

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ มีดังนี้

1. สมบัติปิด

2. สมบัติการสลับที่

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์

5. สมบัติการมีอินเวอร์ส

6. สมบัติการแจกแจง

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก

1. สมบัติปิดของการบวก

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b ε R

เช่น ถ้า 4 , 5 ε R แล้ว 4 + 5 = 9 ซึ่ง 9 ε R ด้วย

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b = b + a

เช่น 2 + 3 = 3 + 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก

ถ้า a ε R , b ε R และ c R แล้ว a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

เช่น 2 + ( 4 + 5 ) = ( 2 + 4 ) + 5

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

จำนวนจริงที่นำมาบวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาบวกว่าเอกลักษณ์การบวก ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การบวกจำนวนเดียว คือ 0

เช่น 2 + 0 = 2 = 0 + 2

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก

จำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 คือ – a

เรียก – a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a

เช่น ( – 5 ) + 5 = 0 = 5 + ( – 5)

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ

1. สมบัติปิดของการคูณ

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a υ b ε R

เช่น 3 ε R แล้ว 4 ε R แล้ว 3 υ 4 = 12 ซึ่ง 12 υ R

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ

ถ้า a และ b ε R แล้ว a υ b = b υ a

เช่น 2 ε R และ 3 ε R แล้ว 2 υ 3 = 3 υ 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว ( ab ) c = a ( b c )

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว ( 2 3 ) 4 = 2 ( 34 )

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

จำนวนจริงที่นำมาคูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาคูณว่าเอกลักษณ์การคูณ ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การคูณจำนวนเดียว คือ 1

เช่น 1 3 = 3 = 31

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ

จำนวนที่คูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 คือ a^{– 1} เรียก a^{– 1} ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a

เช่น 4 × 4 ^{– 1} = 4 × 1/4 = = 1 ดังนั้น 4 ^{– 1} หรือ 1/4 เป็นอินเวอร์สการคูณของ 4

หรือ 4 × 4 ^{– 1} = 4 ^{1 +( -1 )} = 4 ⁰ = 1

ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ – 5

2. อินเวอร์สการบวกของ 0.3 คือ – 0.3

3. อินเวอร์สการบวกของ – √3 คือ √3

4. อินเวอร์สการบวกของ 2∏ คือ – 2∏

5. อินเวอร์สการบวกของ 1/2 – 1/3 คือ – (1/2-1/3)

6. อินเวอร์สการบวกของ 0.1 คือ – 0.1

7. อินเวอร์สการบวกของ – 1/4 คือ 1/4

8. อินเวอร์สการบวกของ -1+√2/2 คือ – (-1+√2/2) หรือ

ตัวอย่างของอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการคูณของ √2/5 คือ 5/√2

2. อินเวอร์สการคูณของ -25 คือ -1/25

3. อินเวอร์สการคูณของ √3-5√2 คือ 1/√3-5√2

4. อินเวอร์สการคูณของ abc คือ – abc

5. อินเวอร์สการคูณของ – 14/3 คือ – 3/

6. อินเวอร์สการคูณของ a + b คือ 1/a + b

7. อินเวอร์สการคูณของ -a-b-c คือ 1/ -a-b-c

8. อินเวอร์สการคูณของ a-2b/2 คือ 2/a-2b

6. สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว a ( b + c ) = a b + ac และ ( b + c ) a = ba + ca

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว 2 ( 3 + 4) = ( 2υ 3 ) + ( 2υ4 )

หรือ ( 3 + 4 ) 2 = ( 3υ2 ) + ( 4υ2 )