สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.1-3

1. a : b = c : d เมื่อ ad = bc
2. a : b = c : d เมื่อ 
3. a : b = c : d เมื่อ 
4. a : b = c : d เมื่อ 
5. a : b = c : d เมื่อ 
6. a : b = c : d เมื่อb : a = d : c
7. a : b และ b : c จะได้ a : b : c

หมายเหตุ การบวกและการลบเศษส่วนอาจทำได้โดยใช้วิธีลัด
ตัวอย่าง ค.ร.น. ของ 3, 12 และ 20 เท่ากับ 60

ร้อยละ คือ เศษส่วนที่มีส่วนเป็น 100 มีคุณสมบัติ
1. กำไร a% หมายความว่า ทุน 100 บาท
กำไร a บาท
2. ขาดทุน a% หมายความว่า ทุน 100 บาท
ขาดทุน a บาท
3. ลดราคา a% หมายความว่า สินค้าราคา 100 บาท
ลดราคา a บาท

นิยามของความเท่ากันทุกประการ
1. รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี
2. ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากันทุกประการ เมื่อส่วนของเส้นตรงนั้นยาวเท่ากัน
3. มุมสองมุมจะเท่ากันทุกประการ เมื่อมุมทั้งสองมุมมีขนาดเท่ากัน
ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
นิยาม รูปสามเหลี่ยม ABC คือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามเส้น , และ เชื่อมต่อจุด A,B และ C ว่าจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC
รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ
ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ
1. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-มุม-ด้าน(ด.ม.ด.)
นิยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ
2. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบมุม-ด้าน-มุม(ม.ด.ม.)
นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันด้วยแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ
3. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-ด้าน-ด้าน(ด.ด.ด.)
นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

นิยาม เส้นตรงสองเส้นที่บนระนาบเดียวกันขนานกันเมื่อเส้นทั้งสองนี้ไม่ตัดกัน
หลักการง่ายที่ใช้พิจารณาว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือไม่
1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ
เส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศา
2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น
ตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน
ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นขนานและมุมแย้ง
1 . ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน
2 . เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ถ้ามุมแย้งที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะ
ขนานกัน
รูปสามเหลี่ยมและเส้นขนาน
คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
1. ขนาดของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใดๆรวมกันได้ 180 องศา
2. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไปมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผล
บวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประกอบของมุมภายนอกนั้น
3. ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันสองคู่และมีด้านที่อยู่ตรงข้ามกันมุมที่มีขนาดเท่ากันยาวเท่ากันคู่หนึ่งแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้จะเท่ากันทุกประการ
สามเหลี่ยมสองรูปที่เกล่าวมีความสัมพันธ์แบบมุม-มุม-ด้าน(ม.ม.ด.)
4. สามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์แบบมุม-มุม-ด้านด้วย

                                          พหุนาม

เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง
แต่สองเอกนามขึ้นไป
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax² + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวที่a 0 และ x เป็นตัวแปรการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
x²+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และ
บวกกันได้ b
ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น
de = c
d + e = b
ฉะนั้น x² + bx + c = x² + (d + e)x + de
= ( x² + dx ) + ( ex + de )
= ( x + d )x + ( x + d )e
= ( x + d ) ( x + e )
ดังนั้น x² + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )
ตัวอย่าง
(6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)
= 6x² – 5x + 6x – 5
= 6x² + (5x+6x) – 5
= 6x² -5x +6x -5
= 6x² + x – 5
จากตัวอย่างข้างต้น อาจแสดงวิธีหาพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้
1. (6x – 5)(x + 1)
= 6x²
– พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หน้าของพหุนามของผลลัพธ์
2. (6x – 5)(x + 1)
= -5
-พจน์หลังของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หลังของพหุนามของผลลัพธ์
3. (6x – 5)(x + 1)
= 6x + (-5x )
– พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง + พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง
พจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x² + 2ax + a² = ( x + a )²
x² – 2ax + a² = ( x – a )²รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a² +2ab + b² และ a² -2ab +b² เมื่อ a และ b เป็นพหุนาม แยกตัวประกอบได้ดังนี้สูตร a² +2ab + b² = ( a + b )²
a² -2ab +b² = (a-b)²
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง
พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x² – a² เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า ผลต่างของกำลังสอง
จาก x² – a² สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x² – a² = ( x + a ) ( x – a )
สูตร x² – a² = ( x + a ) (x-a)
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x² + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุปได้คือ
1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x² + 2px +c หรือ x² -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก
2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลังสองของ p บวกเข้าและลบออกดังนี้
x² + 2px +c = ( x² + 2px + p² ) – p² + c
= ( x + p)² – ( p² – c )
x² – 2px + c = ( x² – 2px + p² ) – p² + c
= ( x – p)² – ( p² – c )
3. ถ้า p² – c = d² เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้
x² + 2px + c = ( x + p)² – d²
x² – 2px + c = ( x – p)² – d²
4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )² – d² หรือ ( x – p )² – d² โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลังสอง
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
พหุนามที่อยู่ในรูป A³ + B³ และ A³ – B³ ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
สูตร A³ + B³ = ( A + B )( A² –AB + B²)
A³ – B³ = ( A – B )( A² +AB + B²)