สรุปสูตรสถิติ ม.6 ตอนที่ 2 ท่องก่อนเรียนออนไลน์

           การใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 
1.  ใช้บอกสภาพการสอบของกลุ่มควบคู่กับค่าเฉลี่ย
2.  ใช้หาค่าความแปรปรวน
          ความแปรปรวน  คือค่าเฉลี่ยของกำลังสองของผลต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละตัว 
กับค่าเฉลี่ย  หรือ ความแปรปรวนคือ  กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสูตรพื้นฐานในการคำนวณมีดังนี้


ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ   10.95  คะแนน
สรุปการเปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างข้อมูล 2 กลุ่ม

การวัดการกระจาย (Measure of Dispersion)

              การใช้สถิติเกี่ยวกับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ซึ่งเป็นค่าที่ทำ หน้าที่เป็นตัวแทนกลุ่มข้อมูล เพียงอย่างเดียว เมื่อแปลความหมายข้อมูลจึงยังไม่สมบูรณ์ ไม่ชัดเจน และ มีโอกาสคลาดเคลื่อนได้ สิ่งที่ ควรน3มาพิจารณาควบคู่ไปกับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางก็คือ ลักษณะการกระจายของกลุ่มข้อมูล ซึ่งสถิติที่ใช้คือ การวัดการกระจาย การที่ข้อมูลแต่ละชุดมีค่าต่าง ๆ กันนั้นเราเรียกว่า ข้อมูลมีการกระจาย ถ้าข้อมูลชุดนั้นประกอบ ด้วยค่าแตกต่างกันมาก เรียกว่า ข้อมูลมีการกระจายมาก ถ้าข้อมูลชุดนั้นประกอบด้วยค่าต่าง ๆ แตกต่าง กันน้อย หรือมีค่าใกล้เคียงกันเรียกว่า ข้อมูลมีการกระจายน้อย ถ้าข้อมูลนั้นประกอบด้วยค่าต่าง ๆ เท่ากัน หมด เรียกว่า ข้อมูลไม่มีการกระจาย

ข้อมูลชุดที่ 1 : 9 , 12 , 37 , 73 , 105
ข้อมูลชุดที่ 2 : 52 , 60 , 63 , 61 , 65
ข้อมูลชุดที่ 3 : 35 , 35 , 35 , 35 , 35

         จากข้อมูลทั้ง 3 ชุด เมื่อเปรียบเทียบแล้วพบว่า ข้อมูลชุดที่ 1 มีการกระจายมากที่สุด ข้อมูลชุดที่ 2 มีการกระจายรองลงมา ส่วนข้อมูลชุดที่ 3 ไม่มีการกระจาย ในการเปรียบเทียบข้อมูลหลาย ๆ ชุดว่าแตกต่างกันหรือไม่ ควรจะต้องพิจารณาถึงค่าเฉลี่ย และ การกระจายของข้อมูลควบคู่กันไปด้วย เพื่อจะช่วยให้สรุปหรือแปลความหมายได้อย่างถูกต้อง เช่น เด็ก นักเรียนกลุ่มหนึ่งวัดคะแนนสอบวิชาภาษาไทยได้ 75 , 87 , 115 , 118 , 130 เด็กนักเรียนกลุ่มสองวัด คะแนนสอบวิชาภาษาไทยได้ 100 ,100 , 105 ,110 , 110 ค่าเฉลี่ยของคะแนน 2 ชุดนี้เท่ากัน คือ 105 ถ้าพิจารณาเฉพาะค่าเฉลี่ยจะสรุปได้ว่านักเรียน 2 กลุ่มนี้ มีคะแนนสอบวิชาภาษาไทยอยู่ในระดับเดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาจากคะแนนแต่ละชุดจะพบว่าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนกลุ่มหนึ่งแตกต่าง กันมากกว่า คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนในกลุ่มที่สอง นั่นคือ ตามข้อสรุปแล้วคะแนนสอบ วิชาภาษาไทยของนักเรียน 2 กลุ่มนี้แตกต่างกัน 

        ดังนั้น จึงสรุปได้ว่าถ้าต้องการบรรยายลักษณะของข้อมูล ให้ถูกต้องสมบูรณ์จะต้องวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางควบคู่ไปกับการวัดการกระจายด้วยเสมอ
การวัดการกระจาย แบ่งได้ 2 อย่าง

1.การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) 

 เป็นการวัดการกระจายข้อมูลเพียงชุดเดียว มีดังนี้ 
               1. พิสัย (Range : R)
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) 

พิสัย (Range : R)

พิสัย หมายถึง การหาการกระจายของข้อมูลโดยนำข้อมูลที่มีค่าสูงที่สุด ลบกับข้อมูลที่มีค่าต่ำที่สุด เพื่อให้ได้ค่าที่เป็นช่วงของการกระจาย ซึ่งสามารถบอกถึงความกว้างของข้อมูลชุดนั้นๆ สำหรับสูตรที่ใช้ในการหาพิสัยคือ 

พิสัย (R) = X_max – X_min

 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าวัดการกระจายที่สำคัญทางสถิติ เพราะเป็นค่าที่ใช้บอกถึงการกระจายของข้อมูลได้ดีกว่าค่าพิสัย และค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถหาได้ 2 วิธี

 1.การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(S.D.) ในกรณีข้อมูลไม่ได้มีการแจกแจงความถี่
สามารถหาได้จากสูตร 

สูตรที่ 1

         หรือ                     

สูตรที่ 2    

เมื่อ   S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คือ ข้อมูล ( ตัวที่ 1,2,3…,n)

คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
หมายเหตุในกรณีที่เป็นทศนิยมทำให้เกิดความยุ่งยากในการคำนวณ จึงควรเลือกใช้สูตรที่ 2

 2.การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(S.D.)ในกรณีข้อมูลมีการแจกแจงความถี่
สามารถหาได้จากสูตร

1.   หรือ                   2.  

                               S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คือ ความถี่

คือ จุดกึ่งกลางชั้น

คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คือ จำนวนข้อมูล

 2.การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (relative Variation)

              คือ การหาค่าเพื่อเปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลมากกว่าหนึ่งชุด โดยใช้อัตราส่วน การเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลระหว่างชุดที่นิยมใช้มี 2 ชนิดคือ

1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย(coefficient of range)
2.สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน(coefficient of variation)

1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย(coefficient of range) คือ อัตราส่วนระหว่างผลต่างของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด กับผลบวกของค่าสูงสุดและต่ำสุดของข้อมูลชุดนั้น 

                             หาได้จากสูตร         

2. สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน(coefficient of variation) ตัวย่อ(C.V.) อัตราส่วนระหว่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น 

สูตร      

             เมื่อ C.V. คือ สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต( ) จัดว่าเป็นค่าที่มีความสำคัญมากในวิชาสถิติ เพราะค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางหรือเป็นตัวแทนของ ข้อมูลที่ดีที่สุด เพราะ
          1)เป็นค่าที่ไม่เอนเอียง
          2)เป็นค่าที่มีความคงเส้นคงวา
          3)เป็นค่าที่มีความแปรปรวนต่ำที่สุด
          4)เป็นค่าที่มีประสิทธิภาพสูงสุด แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็มีข้อจำกัดในการใช้ เช่น ถ้าข้อมูลมีการกระจายมาก หรือข้อมูลบาง
ตัวมีค่ามากหรือน้อยจนผิดปกติ หรือข้อมูลมีการเพิ่มขึ้นเป็นเท่าตัว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่สามารถเป็นค่ากลางหรือเป็นตัวแทนที่ ดีของข้อมูลได้
          การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อข้อมูลไม่ได้มีการแจกแจงความถี่ () ในกรณีที่ข้อมูลไม่ได้มีการแจกแจงความถี่ ค่าเฉลี่ย
เลขคณิตสามารถหาได้โดย
สูตร
          เมื่อ xi แทนค่าสังเกตของข้อมูลลำดับที่ i
          n แทนจำนวนตัวอย่างข้อมูล
          นิยาม ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ผลรวมของค่าสังเกตหรือค่าของตัวอย่างที่ได้จากการสำรวจทุกค่าของข้อมูล แล้วหารด้วย