สรุปสูตร การบวกลบคูณหารจำนวนเชิงซ้อน คณิตศาสตร์ม.ปลาย

การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อน  a + bi เมื่อ a และ b

เป็นจำนวนจริงทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ

เกี่ยวกับการบวกและการคูณ  เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง   และมีข้อตกลงว่า

= -1  เช่น

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di)

= (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di)

= ac + adi + bci + bd

a + bi  =  c + di ก็ต่อเมื่อ   a =  c  และ  b  = d

ต่อไป  เมื่อกล่าวว่า  z = a + bi  เป็นจำนวนเชิงซ้อน  จะถือว่า  a และ b

เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่ 2   จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน  3 + 2i  และ   1 – i

วิธีทำ (3 + 2i) + (1-i) = (3 + 1) + (2 – 1)i

= 4 + i

(3 + 2i)(1 – i) = 3(1 – i) + 2i(1 – i)

= 3 – 3i + 2i –

= (3 + 2) + (-3 + 2)i

= 5 – i

ตัวอย่างที่ 3   จงหาจำนวนจริง  a , b ที่ทำให้   (a + 2i) + (-1 + 2bi)  =  3 + 8i

วิธีทำ เนื่องจาก  (a + 2i) + (-1 + 2bi) = (a – 1) + (2 + 2b)i

ฉะนั้น   a – 1  =  3       และ      2 + 2b   =   8

ดังนั้น         a  =  4       และ               b   =   3

ตัวอย่างที่  4  จงหาผลคูณของ  1 + i , 2 + i และ -1 + 3i

วิธีทำ (1 + i)(2 + i)(-1 + 3i) = [(2 – 1) + (1 + 2)i](-1 + 3i)

= (1 + 3i)(-1 + 3i)

= (-1 – 9 ) + (3 – 3)i

= -10 + 0i

= -10

ข้อสังเกต     เมื่อกำหนด i0 = 1แล้ว   จะได้   สำหรับ m    I+   {0}

I4m = 1, i4m + 1 = I , i4m + 2  = -1, i4m + 3 =  i

ตัวอย่างที่   5 จงหาค่าของ (2 + 3i) + (6 + 4i)
(2 + 3i) + (6 + 4i) = (2 + 6) + (3 + 4)i
= 8 + 7i

ตัวอย่างที่  6 จงหาค่าของ (4 + 2i) + (5 – 4i)
(4 + 2i) + (5 – 4i) = [4 + 5] + [2 + (-4)]i
= 9 – 2i

ตัวอย่างที่  7 จงหาค่าของ (1 + i) + (2i) + (3 + 8i)
(1 + i) + (2i) + (3 + 8i) = (1 + i) + (0 + 2i) + (3 + 8i)
= (1 + 0 + 3) + (1 + 2 + 8)i
= 4 + 11i

ตัวอย่างที่  8        จงหา  Z₁ + Z₂  และ  Z₁ – Z₂  โดย

                              Z₁  =  3 + j4

                              Z₂   =  -5 – j10

วิธีทำ                  หา Z₁ + Z₂

            Z₁ + Z₂  =  (3 + j4)  +  (-5 – j10)

                                          =  3 + j4 – 5 – j10

                        =  (3 – 5) + j (4 – 10)

                                          =  -2 – j6

            Z₁ – Z₂   =   (3 + j4)  – (-5 – j10)

                                          =  3 + j4 + 5  + j10

                        =  (3 + 5) + j (4 +10)

                                          =  8 + j14