สรุปสูตร ลำดับและอนุกรม

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

• ลำดับเลขคณิต
• ลำดับเรขาคณิต

ซึ่งลำดับเลขคณิตเป็นลำดับที่เกิดจากการบวก แต่ลำดับเรขาคณิตเป็นลำดับที่เกิดจากการคูณ

• ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)

ตัวอย่าง

1, 3, 5, 7, 9 ….  มี d = 2

9, 6, 3, 0, …. มี d = -3

• ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นอัตราส่วนร่วม (r)

ตัวอย่าง

3, 6, 12, 24 …. มี r = 2

2, -4, 8, -16 … มี r = -2

• วิธีการหา a ที่พจน์ใดๆ
  • ลำดับเลขคณิต :  a_n=a₁+(n-1)d
  • ลำดับเรขาคณิต : a_n=a₁r^n-1

1. อนุกรม(Series) หมายถึง  ผลบวกของพจน์ต่าง ๆ ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ  สรุปสูตรในตารางข้างล่าง

ชนิด	สูตรการหาลำดับ : an	สูตรอนุกรม : Sn
เลขคณิต	an = a1 + (n-1)d	1.  Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d 2. Sn = (n/2)(a1 + an)
เรขาคณิต	an = a1rn-1	Sn =  a1(rn-1)     เมื่อ  r > 1               (r-1) Sn =   a1(1- rn)  เมื่อ  r < 1                  (1 – r) Sn =       a1       เมื่อ  n →∝, r < 1                  (1-r)

       เมื่อ an  คือ พจน์ที่ n  ของลำดับ a1  คือ พจน์แรกของลำดับ

d  คือ ผลต่างร่วม r  คือ อัตราส่วนร่วม

Sn  คือ อนุกรมที่ n หรือผลบวก n พจน์ของลำดับ

• ลำดับ ( Sequence )

    ความหมายของลำดับ

                       ฟังก์ชันที่โดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกหรือสับเซตของจำนวนเต็มบวกในรูป  เรียกว่า  ลำดับ

                   ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า 

      ลำดับจำกัด (finite      Sequence ) 

                   และในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า

      ลำดับอนันต์ ( infinite sequence )

        ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป กล่าวคือ ถ้า    เป็นลำดับจะเขียนแทนด้วย

       ในกรณีที่  เป็นลำดับอนันต์จะเขียนแทนด้วย

เรียก     ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ

เรียก    ว่า  พจน์ที่  2  ของลำดับ

                           

เรียก    ว่า  พจน์ที่    หรือ พจน์ทั่วไป ( general term )  ของลำดับ

เช่น   ลำดับ  2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20   มี                        ,   ,  , 

    ,  และ  

   ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 3 , 4 , 5 , 6 , 7

วิธีทำ จากลำดับจำกัด  3 , 4 , 5 , 6 , 7

จะได้  a1 = 3 = 1 + 2

a2  = 4 = 2 + 2

a3  = 5 = 3 + 2

a4  = 6 = 4 + 2

a5 = 7 = 5 + 2

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ an = n + 2 เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

   ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 2 , 4 , 8 , 16 , 32

วิธีทำ จากลำดับจำกัด  2 , 4 , 8 , 16 , 32

จะได้  a1 = 2 =  21

a2  = 4 =  22

a3  = 8 = 23

a4  = 16 = 24

a5 = 32 =  25

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ an = 2n   เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

• ลำดับเลขคณิต ( arithmetic Sequence )

               บทนิยาม  ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่    ลบพจน์ที่  เป็นค่าคงตัวที่

  เท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก และ เรียกค่าคงตัวนี้ว่า  ผลต่างร่วม (common difference )  

   เขียนแทนด้วย 

  นั่นคือ   

    และมี       เมื่อ    คือ พจน์ที่ 1  และ  คือ  ผลต่างร่วม

ตัวอย่าง 1  จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต   2, 5, 8, 11, 14, …

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 2 , d = 3

a6   =  a5 + d  =  14  +  3  =  17

a7   =  a6 + d  =  17  +  3  =  20

a8   =  a7 + d  =  20  +  3  =  23

a9   =  a8 + d  =  23  +  3  =  26

ดังนั้นสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้คือ  17, 20, 23, 26

ตัวอย่าง 2  จงหาพจน์ที่ 30 ของลำดับเลขคณิต  1, 8, 15, 22, …

วิธีทำ 1, 8, 15, 22, …  เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 1 ,  d = 7

จาก   an = a1 + (n-1)d

จะได้ an = 1  + (30-1)(7)

an = 1 + (29)(7)

an = 1 + 203

an = 204

ตัวอย่าง 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต  8, 3, -2, -7, …

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 8 , d = -5

จาก   an = a1 + (n-1)d

an = 8 + (n-1)(-5)

an = 8 -5n + 5

an = -5n + 13

ตัวอย่าง 4 ถ้า  3, a, b, c, d, e, f, g, 35   เป็นเก้าพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต   จงหา f

วิธีทำ      เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 3 , a9 = 35

จาก   an = a1 + (n-1)d

a9 = a1 + 8d

35 = 3 + 8d

32    = 8d

d     =  4

หา f ซึ่งเป็นพจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิตจาก   an = a1 + (n-1)d

a7 = a1 + 6d

a7 = 3  + 6(4)

a7 = 3  + 24

a7 = 27

ดังนั้น  f มีค่าเท่ากับ 27