สรุปเนื้อหาที่สำคัญความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน คณิตศาสตร์ ม. 4

ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความคล้ายกับความสัมพันธ์ในชีวิตจริงที่เราคุ้นเคย คือเป็นการแสดงความเกี่ยวข้องกันของสองสิ่ง ซึ่งในทางคณิศาสตร์เรียกว่า คู่อันดับ ซึ่งมีนิยามดังนี้

คู่อันดับ คือ การนำสิ่ง สองสิ่ง มาเขียนคู่กัน โดยคำนึงถึงลำดับด้วย ซึ่งเขียนได้ดังนี้

คู่อันดับ a, b เขียนแทนด้วย (a, b) โดยเรียก a ว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ และเรียก b ว่า สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ เช่น

การเท่ากันของคู่อันดับ หมายถึง (x1, y1) = (x2, y2)

ก็ต่อเมื่อ x1 = y1 และ x2 = y2 หรือก็คือ ตัวหน้า = ตัวหน้า, ตัวหลัง = ตัวหลัง

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = { a, b } จงหา A x P(A)

วิธีทำ พิจารณา P(A) = { { }, {a}, {b}, { a, b } } จะได้ว่า

A x P(A) = { (a, { }), (a, {a}), (a, {b}), (a, { a, b }), (b, { }), (b, {a}), (b, {b}), (b, { a, b }) }

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า A และ B เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 และ 5 ตามลำดับจำนวนความสัมพันธ์ของ A และ B ที่แตกต่างกันมีค่าเท่าใด

วิธีทำ เนื่องจาก n(A) = 3 และ n(B) = 5 จะได้ว่า n( A x B ) = 15 ความสัมพันธ์คือการเลือกหรือรวบรวมผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B นั้นคือเซตย่อยของ A x B ดังนั้นจำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนเซตย่อยของ A x B เท่ากับ 2¹⁵

ความสัมพันธ์ทวิภาค

ความสัมพันธ์ทวิภาคเป็นการรวบรวมสมาชิกของเซต 2 เซตที่สัมพันธ์กันอาจจะเป็นเซตเดียวกันหรือต่างเซตกันก็ได้ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ A = {1,2,3,4,5} และ B = {2,4} การจับคู่กับระหว่างเซต A และ B หรือผลคูณคาร์ทีเซียน

A x B = { (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4), (5,2), (5,4) }

จะเห็นว่ามีการจับคู่ได้ทั้งหมด 10 แบบ แต่หากเราต้องการรวบรวมสมาชิกในเซต A และ B โดยที่สมาชิกในเซต A มีค่าน้อยกว่าสมาชิกในเซต B จาก A x B จะได้คู่อันดับ (1,2), (1,4), (2,4) และ (3,4) กำหนดใด้ R เป็นความสัมพันธ์ของเซต A และ B โดยที่สมาชิกในเซต A มีค่าน้อยกว่าสมาชิกในเซต B จะได้ว่า

R = { (1,2), (1,4), (2,4), (3,4) }

ให้ R1 เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเซต A และเซต B โดยที่สมาชิกในเซต B หารสมาชิกในเซต A ได้ลงตัว

R1 = { (2,2), (4,2), (4,4) }

ให้ R2 เป็นความสัมพันธ์บนเซต A (ระหว่างเซต A และเซต A) โดยที่สมาชิกตัวค่าแรกมีค่าน้อยกว่าค่าที่ 2

R2 = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,4), (3,4), (3,5), (4,5) }

เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว ความสัมพันธ์ มีนิยามดังต่อไปนี้

ความสัมพันธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ โดยที่คู่อันดับแต่ละคู่ เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซตสองเซต เช่น

{(A, X), (B, Y), (C, Z), (D, W)}
{(Galaxy Note 10, Samsung), (iPhone 11, Apple), (Find X, Oppo), …}
{(1, 1), (2, 4), (3, 9), …}

ผลคูณคาร์ทีเชียน เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบดังนี้

A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

***ข้อสังเกต “ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A,B ทุกอันต้องเป็นสับเซตของ A×B”***

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A

A×{} = {}
{}×A = {}
A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
n(A×B) = n(A).n(B)

ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า

r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

กราฟของความสัมพันธ์

ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้

บทนิยาม

ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R

ตัวอย่างที่ 1

จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์

r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้

A = {1, 2, 3, 4}

วิธีทำ

r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}