สรุปเนื้อหาฟังก์ชันกำลังสอง (Quadratic function)

  1)   กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง   มีชื่อเรียกว่า  พาราโบลา  ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c   และเมื่อ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ  และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0       เมื่อ  a  > 0   และชนิดคว่ำ   เมื่อ   a < 0

                สรุป                ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

!  เมื่อ   a > 0  ได้พาราโบลาหงาย  จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, 0)

เมื่อ   a < 0   ได้พาราโบลาคว่ำ   จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, 0)

!  แกนสมมาตรคือ  แกน  Y   หรือเส้นตรง   X  =  0 ,

สมการแกนสมมาตรคือ  X  =  0

!  เมื่อ   a > 0   ค่าต่ำสุดคือ  0  และ  เมื่อ  a < 0   ค่าสูงสุดคือ  0

!  | a |  ยิ่งมากกราฟยิ่งแคบ

2)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0  จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด  อยู่ที่  (0, k)  และแกนสมมาตรคือ  แกน  Y

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   ax² + k

! ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, k)   ค่าสูงสุด  =  k

! แกนสมมาตรคือ  แกน  y  หรือเส้นตรง  x  =  0   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  0

! ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

! ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายเหมือนกัน  กราฟไม่ตัดแกน  X

ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายต่างกัน  กราฟจะตัดแกน  X

3.    กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ h > 0 

3.1)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²    เมื่อ  a ¹ 0  และ  h  ¹ 0   จะเป็นกราฟ

พาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง  x = h

3.2)  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ  h < 0 

ถ้า  h < 0   จะได้สมการใหม่เป็น     y        =    a(x – (-h))²

=    a(x + h)²

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²

!   ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0)  ค่าต่ำสุด  =  0

ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, 0)   ค่าสูงสุด  =  0

!   แกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

!   h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน  Y

h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน  Y

4.    กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  a(x – h)² + k  เมื่อ  a ¹ 0 ,  h ¹ 0
   และ  k ¹ 0   จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  และมีแกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)² + k

!  เมื่อ  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

เมื่อ  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, k)   ค่าสูงสุด  =  k

!   ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

!   แกนสมมาตร  คือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

!   ถ้า  h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน  Y

ถ้า  h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน  Y

!   ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน  X

ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายต่างกันกราฟตัดแกน  X

5.            กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + bx + c   เมื่อ               a ¹ 0   การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป

y   =   a(x – h)² + k   จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น 

จากสมการ    y   =   ax² + bx + c    สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป    y   =   a(x – h)² + k   ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์

          ตัวอย่าง    จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน     y   =   2x² + 4x – 16

วิธีทำ     จาก             y      =     2x² + 4x – 16

=     2(x² + 2x – 8)

=     2{(x² + 2x + 1) – 8 – 1}

=     2{(x + 1)² – 9}

=     2(x + 1)² – 18

จะได้      h      =     -1  ,    k    =    -18

จุดวกกลับคือ   (-1, -18)