สรุปเนื้อหา คณิตศาสคร์ ม.6 เรื่อง แคลคูลัส
ลิมิตและฟังก์ชัน
ฟังก์ชันมีหลายรูปแบบ ในบทนี้จะพิจารณาถึงค่าที่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งของฟังก์ชัน แต่ไม่ใช่ค่าของฟังก์ชัน รวมถึงการตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ค่าหรือช่วงต่างๆ
“ฟังก์ชัน” คือ ความสัมพันธ์จากเซตหนึ่ง(โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง(โคโดเมน ไม่ใช่เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้้ากัน ฟังก์ชันเป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เป็นข้อมูลเชิง
ปริมาณ“กฎ” ที่นิยามฟังก์ชันอาจเป็นสูตร, ความสัมพันธ์(คณิตศาสตร์) หรือเป็นแค่ตารางที่ล้าดับผลลัพธ์กับสิ่งที่น้าเข้า ลักษณะเฉพาะที่ส้าคัญของฟังก์ชันคือจะมีผลลัพธ์เหมือนเดิมตลอดเมื่อให้สิ่ง
น้าเข้าเหมือนเดิม เรียกผลลัพธ์ว่า ค่าของฟังก์ชัน(Value)ชนิดของฟังก์ชันธรรมดาเกิดจากสิ่งน้าเข้าและค่าของฟังก์ชันเป็นตัวเลขทั้งคู่ ความสัมพันธ์ของ ฟังก์ชันมักจะเขียนในรูปสูตรและจะได้ค่าของฟังก์ชันมาทันทีเพียงแทนที่สิ่งน้าเข้าในสูตร เช่น y = ax2 + bx + c เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อค่าของ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ
ฟังก์ชันไม่ได้จ้ากัดอยู่แค่การค้านวณด้วยตัวเลขเท่านั้น และไม่ได้จ้ากัดอยู่แค่การค้านวณด้วยแนวคิดของคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชัน เป็นแนวคิดโดยทั่วไปและไม่ได้จ้ากัดอยู่แค่สถานการณ์ที่
เกี่ยวข้องกับตัวเลขเท่านั้น แน่นอนว่าฟังก์ชันเชื่อมโยง “โดเมน” (เซตของสิ่งน้าเข้า) เข้ากับ “โคโดเมน” (เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้) ดังนั้นสมาชิกแต่ละตัวของโดเมนจะจับคู่กับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของโค
โดเมนเท่านั้น ฟังก์ชันนั้นนิยามเป็นความสัมพันธ์ที่แน่นอน
ลิมิตด้านเดียว (One-side limits)
- ลิมิตซ้าย (left-hand limits)
กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือก็ต่อเมื่อมีจานวนจริง L ที่ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
- ลิมิตขวา (right-hand limits)
กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวามือก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง L ที่ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางขวามือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ลิมิตสองด้าน (Two-side limits)
เป็นการพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทั้งทางซ้ายและลิมิตทางขวา ของจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง นั่นคือ ต้องการพิจารณาค่าของ f(x) ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ซึ่งคำว่า “เข้าใกล้ a” หมายถึง เข้าใกล้ทั้งสองด้าน คือ ด้านซ้ายมือของ a และด้านขวามือของ a
