มาดูบทสรุปการสร้างจำนวนเชิงซ้อน ( Complex Nember )
บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน
การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a,b) และ (c,d)
1. การเท่ากัน ( a , b ) = ( c , d ) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวก ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )
3. การคูณ ( a , b ) • ( c , d ) = ( ac – bd , ad + bc )
เราอาจเขียนแทน ( a , c ) • ( c , d ) ด้วย ( a , b )( c , d ) ก็ได้
เซตของจำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (-1,2) และ (3,-4)
วิธีทำ (-1,2)+(3,-4) = (-1 + 3 , 2 – 4)
= (2 , – 2)
(-1,2)(3,-4) = ((-1)3 – 2 (- 4), ( -1 )( -4 ) + 2 • 3)
= (-3 + 8, 4 +6)
= (5, 10)
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป ( x , 0 ) จะเห็นว่า
( a , 0 ) + ( b , 0 ) = ( a + b , 0 )
( a , 0 )( b , 0 ) = ( ab – 0 , a0 + 0b ) = ( ab , 0 )
ซึ่งเหมือนกับการบวกและการคูณจำนวนจริง ฉะนั้นเราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป ( a , 0 )
ว่าเป็นจำนวนจริง a ตามข้อสังเกตนี้จะได้ว่า เซตของจำนวนจริงเป็นซับเซตของจำนวนเชิงซ้อน
เมื่อเราแทนจำนวนเชิงซ้อน ( a , b ) ด้วยจุด ( a , 0 ) บนแกน x นั้นเอง
บทนิยาม สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a,b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง
เรียก a ว่าส่วนจริง (Real part) ของ z และแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจิตภาพ (Imaginary part) ของ z และแทนด้วย Im(z)
จากบทนิยามนี้ อาจกล่าวได้ว่า จำนวนจริงก็คือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช้ศูนย์ เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)
ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน ( 0 , 1 ) สังเกตว่า ( 0 , 1 )( 0 , 1 ) = ( 0 – 1 , 0 + 0 ) = (-1 , 0 )
ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน (-1,0) คือจำนวนจริง -1 นั่นเองเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน(0,1)ด้วยสัญลักษณ์ i
จะได้ว่า i2 = -1
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ( a , b ) ใด ๆ
( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b )
= ( a , 0 ) + ( b , 0 )( 0 , 1 )
= a + bi
ฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อน ( a , b ) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a + bi
การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้สมบัติต่าง ๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง และข้อตกลงว่า i2 = -1
เช่น ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( bi + di )
= ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + bi )( c + di ) = a ( c + di ) + bi ( c + di )
= ac + abi + bic + bdi2
= ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i
a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d ต่อไปเมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน
จะถือว่า a และ b เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 3 + 2i และ 1 – i
วิธีทำ ( 3 + 2i ) + ( 1 – i ) = ( 3 + 1 )( 2 – 1 )i
= 4+i
( 3 + 2i )( 1 – i ) = 3( 1 – i ) + 2i ( 1 – i )
= 3 – 3i + 2i – 2i2
= ( 3 + 2 ) + ( -3 + 2 )i
= 5 – i
ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนจริง a , b ทีทำให้ (a+2i) + ( – 1+2bi) = 3 + 8i
วิธีทำ เนื่องจาก (a + 2i) + ( – 1 + 2bi) = (a – 1) + (2+ 2b)i
ฉะนั้น a – 1 = 3 และ 2 + 2b = 8
ดังนั้น a = 4 และ b = 3
ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคูณ 1+ i , 2+ i และ – 1 + 3i
วิธีทำ (1+ i)(2+i)( – 1+3i) = [(2 – 1) + (1 + 2 ) i ] ( – 1 +3i)
= (1 + 3i) ( – 1 + 3i)
= ( – 1 – 9)+(3 – 3) i
= – 10 + 0i
= – 10
ข้อสังเกต เมื่อกำหนด i0 = 1แล้ว จะได้ สำหรับ m 
I+ .png){kind=small}
{0}
I4m = 1, i4m + 1 = I , i4m + 2 = -1, i4m + 3 = i
สมบัติที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า Z1 , Z2 , Z3 ,เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้วจะได้ว่า
1. Z1 + Z2 = Z2 + Z1 และ Z1Z2 = Z2Z1 (สมบัติการสลับที่)
2. Z1 + (Z2 + Z3) = (Z1+Z2) + Z3 และ Z1(Z2Z3) = (Z1Z2) Z3 (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)
3. Z1(Z2 + Z3) = Z1Z2 + Z1Z3 (สมบัติการแจกแจง)
