ระบบจำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนทั้งหมดที่สามารถแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนั้นตัวเลขเช่น -5, – 6/2, 0, 1, 2 หรือ 3.5 จึงถือเป็นของจริงเนื่องจากสามารถสะท้อนให้เห็นในการแทนค่าตัวเลขที่ต่อเนื่องกันในรูปแบบจินตภาพ ไลน์. อักษรตัวใหญ่ R เป็นสัญลักษณ์ที่แสดงถึงชุดของจำนวนจริง

ตัวอย่างจำนวนจริง

จำนวนจริงคือชุดของตัวเลขและระหว่างนั้นมีกลุ่มย่อยหลายกลุ่ม ดังนั้น – 6/3 เป็นจำนวนที่มีเหตุผลเนื่องจากเป็นการแสดงออกถึงส่วนหนึ่งของบางสิ่งและในทางกลับกันมันก็เป็นจำนวนจริงเพราะสามารถระบุได้ในเส้นจำนวน ถ้าเราใช้เลข 4 เป็นตัวอ้างอิงแสดงว่าเรากำลังจัดการกับจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนจริงด้วย

ต่อด้วยตัวอย่างของจำนวน 4 มันไม่ได้เป็นเพียงจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังเป็นจำนวนเต็มบวกและในขณะเดียวกันก็เป็นจำนวนที่มีเหตุผล (4 คือผลลัพธ์ของเศษส่วน 4/1) และทั้งหมดนี้โดยไม่หยุดอยู่กับที่ เป็นจำนวนจริง

ในกรณีของรากที่สองของ 9 เรากำลังจัดการกับจำนวนจริงด้วยเนื่องจากผลลัพธ์คือ 3 นั่นคือจำนวนเต็มบวกที่ในเวลาเดียวกันจะมีเหตุผลเนื่องจากสามารถแสดงในรูปแบบ 3/1 ได้ .

การจำแนกจำนวนจริง

ในทางคณิตศาสตร์สามารถจำแนกจำนวนจริงได้ดังนี้ ในส่วนแรกเราสามารถรวมชุดของจำนวนธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยตัวใหญ่ N และซึ่ง ได้แก่ 1, 2, 3, 4 ฯลฯ รวมทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนผสมเนื่องจากทั้งสองมีความเป็นธรรมชาติเท่ากัน

ในทางกลับกันเรามีจำนวนเต็มที่แสดงด้วยทุน Z และจะแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มบวกจำนวนเต็มลบและ 0 ด้วยวิธีนี้ทั้งจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มจะรวมอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะที่แสดงโดยทุน ตัวอักษร Q.

สำหรับจำนวนอตรรกยะซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร ll นั้นเป็นจำนวนที่ตรงตามลักษณะสองประการคือไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้และมีเลขทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดเป็นระยะ ๆ ตัวอย่างเช่นจำนวน pi หรือตัวเลขสีทอง (ตัวเลขเหล่านี้คือ จำนวนจริงด้วยเนื่องจากสามารถจับภาพได้บนเส้นจินตภาพ)

สรุปได้ว่าเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของความไม่ลงตัวจะรวมกันเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ระบบจำนวนจริง

“ระบบจำนวนจริง” เป็นรากฐานสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วยจำนวนต่างๆ ได้แก่ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนนับ

โครงสร้าง ระบบจำนวนจริง

มนุษย์เรามีความคิดเรื่องจำนวนและระบบการนับมาตั้งแต่โบราณ และจำนวนที่มนุษย์เรารู้จักเป็นอย่างแรกก็คือ จำนวนนับ การศึกษาระบบของจำนวนจึงใช้พื้นฐานของจำนวนนับในการสร้างจำนวนอื่นขึ้นมา จนกลายมาเป็นจำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน (เนื้อหาม.5) ดังนั้น ถ้าน้องๆเข้าใจจำนวนนับแล้วน้องๆก็จะสามารถศึกษาระบบจำนวนอื่นๆได้ง่ายขึ้น

 

โครงสร้าง

 

จำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  

 

จำนวนเต็ม

จำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  หรือ  คือจำนวนที่เอาไว้ใช้นับสิ่งต่างๆ

เซตของจำนวนนับเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ  = {1,2,3,…}

 

จำนวนเต็มศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  มีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ  = {0}

 

จำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   คือ ตัวผกผันการบวกของจำนวนนับ ซึ่งตัวผกผัน คือตัวที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนนับจะทำให้ผลบวก เท่ากับ 0 เช่น จำนวนนับคือ 2 ตัวผกผันก็คือ -2 เพราะ 2+(-2) = 0 สมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบมีจำนวนเป็นอนันต์ นั่นคือ  = {…,-3,-2,-1}

 

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ซึ่งก็คือ ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เต็มบวก, เต็มลบ) เช่น    จะเห็นว่า ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ซึ่งทั้ง 1 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะยังสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้อีกด้วย เช่น  เป็นต้น

น้องๆสงสัยไหมว่าทำไมจำนวนเต็มถึงอยู่ในจำนวนตรรกยะ?? 

ลองสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ดูค่ะ

-3, 2, 0

-3 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>>  -3/1,33/-1,-6/2 , … จะเห็นว่าเศษส่วนที่ยกตัวอย่างมานี้ มีค่าเท่ากับ -3 และเศษส่วนเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ

2 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>>  2/1, 4/2  .-4/-2 … จะเห็นว่า 2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

0 เกิดจากเศษส่วนได้เช่นกัน เพราะ 0 ส่วนอะไรก็ได้ 0  ยกเว้น!!! 0/0 เศษส่วนนี้ไม่นิยามนะคะ 

ดังนั้น จำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

ข้อควรระวัง  ตัวเศษสามารถเป็นจำนวนเต็มอะไรก็ได้ แต่!! ตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 นะจ๊ะ

เช่น  1/0  แบบนี้ถือว่าไม่เป็นจำนวนตรรกยะนะคะ

 

จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ 

เช่น ทศนิยมไม่รู้จบ 1.254545782268975456… , √ 2, √ 3 เป็นต้น

**√¯ อ่านว่า square root เป็นสัญลักษณ์แทนค่ารากที่ 2 

เช่น 

√ 2 คือ รากที่ 2 ของ 2 หมายความว่า ถ้านำ √ 2 × √ 2 แล้วจะเท่ากับ 2 

√ 2 คือ รากที่ 2 ของ 3 หมายความว่า ถ้านำ √ 3 × √ 3 แล้วจะเท่ากับ 3 

สรุปก็คือ รากที่ 2 คือ ตัวที่นำมายกกำลัง 2 แล้วทำให้ square root หายไป

 

ตัวอย่าง ระบบจำนวนจริง

พิจารณาจำนวนต่อไปนี้ แล้วตอบคำถามว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ, อตรรกยะ, จำนวนจริง

1.) 1.5 

แนวคำตอบ 1.5 สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น 3/5 , 6/4   ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะอยู่ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

2.) 1.3 

แนวคำตอบ 1.3 เป็นทศนิยมที่ซ้ำ 3 ซึ่งก็คือ 1.33333333… ไปเรื่อยๆ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น  4/3 ดังนั้น 1.3 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

3.) π 

แนวคำตอบ π = 3.14159265358979323846264338327950288420…. จะเห็นว่าเป็นเลขทศนิยมไม่ซ้ำและไม่สิ้นสุด ดังนั้น π เป็นจำนวนอตรรกยะ

และเนื่องจาก จำนวนอตรรกยะก็อยู่ในเซตของจำนวนจริง

ดังนั้น  π เป็นจำนวนอตรรกยะและจำนวนจริง

 

4.)  √ 5

เนื่องจาก √ 5 ไม่ใช่จำนวนเต็ม และไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ส่วนไม่เป็น 0 ได้ และไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ 

ดังนั้น √ 5 เป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

5.) √ 16

เนื่องจาก √ 16 = 4 = √ 4X √ 4=4 และ 4 เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น  √ 16 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

6.) √ 25

เนื่องจาก √25 = √ 5X√ 5 = 5 

ดังนั้น √25 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง