สรุปเลขเนื้อหาเรื่อง ความน่าจะเป็น (Probability) คืออะไร

กฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้อง

กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n₁วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n₂วิธี จะทำงานทั้งสองอย่างนี้ได้ n₁ n₂วิธี
กฎข้อที่ 2 ถ้าต้องการทำงานอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n₁วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สองได้ n₂ วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ n₃วิธี เช่นนี้ เรื่อยไปจนถึงขั้นตอนสุดท้ายคือ ขั้นตอนที่ k ทำได้ n_kวิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ n₁ n₂ n₃… n_k วิธี
กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n ! วิธี
กฎข้อที่ 4 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี เมื่อ r £ n
กฎข้อที่ 5 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ (n – 1) ! วิธี
กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่งในจำนวนนี้มี n₁ สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n₂ สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง มี n₃ สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สาม… และมี n_k สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n₁+ n₂ + n₃… + n_k = n แล้ว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของทั้ง n สิ่ง เท่ากับ n! / n₁! n₂! n₃!… n_k! วิธี

แฟกทอเรียล n (Factorial n)

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n หมายถึง ผลคูณของจำนว เต็มบวกตั้งแต่ 1ถึง n ซึ่ง แฟกทอเรียล n เขียนแทนด้วย n ! โดย n! อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรียล ก็ได้

แต่อย่างไรก็ตาม บทนิยามของ n ! กล่าวเฉพาะ n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก แต่ในบางครั้งก็จำเป็นต้องใช้ 0! โดย กำหนดค่าของ 0! จากนิยามได้ดังนี้

วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)

วิธีเรียงสับเปลี่ยน หมายถึง การจัดเรียงอันดับสิ่งของโดยถือเอาอันดับเป็นสำคัญ เช่น การเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C นำมาจัดเรียงอันดับทั้งหมดได้เป็น ABC, ACB, BAC, CAB, CBA ซึ่งจะเห็นได้ว่า วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรทั้ง 3 ตัวนี้ มี 6 วิธี

การหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการเรียงสับเปลี่ยนจะนำกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับมาใช้ โดยถือเสมือนว่าการจัดอันดับแต่ละอันดับเป็นการทำงานอย่างหนึ่ง เช่น การจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวข้างต้นเป็นการทำงาน 3 อย่าง คือ

การจัดตัวอักษรในตำแหน่งที่ 1 มี 3 วิธี ( A หรือ B หรือ C ) ในแต่ละวิธีสามารถจัดตัวอักษรใน ตำแหน่งที่ 2 ได้อีก 2 วิธี ( ตัวอักษรที่เหลือ ) และในแต่ละวิธีของการจัดตัวอักษรในตำแหน่งที่ 1 และตำแหน่ง ที่ 2 จะจัดตัวอักษรในตำแหน่งที่ 3 ได้อีก 1 วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดอันดับตัวอักษรที่แตกต่างกัน จึง เท่ากับ 3 * 2 * 1 = 6 วิธี (ตามกฎข้อ 3)

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง เขียนแทนด้วย P n,r จากกฎข้อที่ 4 จะได้

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลม

วิธีเรียงสับเปลี่ยนที่กล่าวมาข้างต้น เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันเป็นแนวเส้นตรงซึ่งมีหัวแถวและท้ายแถว แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมจำนวนวิธีจะแตกต่างกันออกไป เพราะการเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมไม่มีหัวแถวและท้ายแถว เช่น วิธีสับเปลี่ยนตัวอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C ถ้าจัดเป็น วงกลม ABC , CBA และ BAC ถ้าจัดเรียงเป็นวงกลมจะได้ 1 วิธี ดังรูป

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของลักษณะนี้ถือว่า หัวแถวจะตั้งต้นที่ตำแหน่งใดของวงกลมก็ได้ถ้าสิ่งที่เรียงตามมาเหมือนกันถือว่าเป็นการจัดวิธีเดียวกันทั้งสิ้น เพื่อสะดวกในการคิดคำนวณจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง เป็นวงกลม จึงกำหนดให้ของสิ่งหนึ่งอยู่คงที่แล้วจัดสิ่งของที่เหลือ n – 1 สิ่งเรียง สับเปลี่ยนกัน ดังนั้น จะได้จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง เชิงวงกลม เท่ากับ (n-1)(n-2)(n-3)…321 = (n – 1) ! ตามกฎข้อที่ 5

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

สิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดหรือสิ่งของที่เหมือนกันเป็นกลุ่ม ๆ เช่น มีธงอยู่ 10 ผืน เป็นธงสีแดง 2 ผืน สีเขียว 3 ผืน และสีเหลือง 5 ผืน ถือได้ว่าเป็นสิ่งของ 3 กลุ่ม ในแต่ล่ะกลุ่มมีสิ่งของที่เหมือนกัน เมื่อนำสิ่งของทั้งหมดมาสับเปลี่ยนกัน สิ่งของที่เหมือนกันจะไม่ทำให้เกิดวิธีใหม่ จำนวนวิธีเรียงสลับเปลี่ยนจึงน้อยกว่าการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

โดยทั่วไปถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่งในจำนวนนี้มี n₁สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n₂ สิ่งที่เหมือนเป็นกลุ่มที่สอง มี n₃สิ่งที่เหมือนเป็นกลุ่มที่สาม… และมี n_k สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n₁+ n₂ + n₃… + n_k = n ในวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด จะมีวิธีเรียง สับเปลี่ยน n ! วิธี แต่ในกรณีที่มีของเหมือนกันเป็นกลุ่ม ๆ จำนวนวิธีจะน้อยลงไป คือในจำนวน n ! วิธีดังกล่าว จะรวมวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่แตกต่างกันได้ถึง n₁! วิธี สำหรับของกลุ่มแรกที่เหมือนกัน และ n₂! วิธี สำหรับของกลุ่มที่สองที่เหมือนกัน…และ n_k! สำหรับของกลุ่มที่ k ที่เหมือนกัน ดังนั้น จึงมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ สามารถเห็นความแตกต่างกันของสิ่งของทั้ง n สิ่งได้ เท่ากับ n! / n₁! n₂! n₃!… n_k! วิธี (กฎข้อที่ 6)

วิธีจัดหมู่ (Combination)

การจัดหมู่สิ่งของที่แตกต่างกัน เป็นการจัดกลุ่มสิ่งของโดยไม่คำนึงถึงอันดับของสิ่งของนั้น เช่น ตัวอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C ถ้านำมาจัดหมู่คราวละ 2 ตัวจะจัดได้ 3 วิธี คือ AB, AC, และ BC แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนกันคราวละ 2 ตัว จะได้ 6 วิธี คือ AB, BA, AC, CA, BC, และ CB จะเห็นได้ว่าจำนวนวิธีในการ จัดหมู่จะน้อยกว่าจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยน