เวกเตอร์ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

กำหนดเส้นตรง XX’ , YY’ และ ZZ’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด O และตั้งฉากซึ่งกันและกันโดยกำหนด ทิศทางของเส้นตรงทั้งสามเป็นระบบมือขวา ดังรูป

ถ้าเส้นตรงทั้งสามเป็นเส้นจำนวน (real line) จะเรียกเส้นตรง XX’ , YY’ และ ZZ’ ว่า
แกนพิกัด X แกนพิกัด Y และ แกนพิกัด Z หรือเรียนสั้นๆ ว่า แกน X (x-axis) แกน Y (y-axis) และ แกน Z (z-axis) และเรียนจุด O ว่า จุดกำเนิด (origin) ดังรูป

เรียกส่วนของเส้นตรง OX OY และ OZ ว่า แกน X ทางบวก (positive x-axis) แกน Y ทางบวก (positive y-axis) และ แกน Z ทางบวก (positive z-axis) และเรียกส่วนของเส้นตรง OX’ OY’ และ OZ’ ว่า แกน X ทางลบ (negative x-axis) แกน Y ทางลบ (negative y-axis) และ แกน Z ทางลบ (negative z-axis)

ความหมายของเวกเตอร์

ในการกล่าวถึงปริมาณใดๆ เราจำแนกปริมาณออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่

ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar Quantity ) คือ ปริมาณที่บอกเพียงขนาดอย่างเดียว เช่น ระยะทาง อัตราเร็ว อัตราเร่ง

ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity ) คือ ปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนปริมาณเวกเตอร์

เวกเตอร์ที่จะกล่าวในระดับนี้เป็นเวกเตอร์ในระนาบเท่านั้น

ปริมาณเวกเตอร์ สามารถเขียนแทนด้วย ”ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง”

โดย ขนาดเวกเตอร์ แทนด้วย ความยาวเส้นตรง

ทิศทางเวกเตอร์ แทนด้วย หัวลูกศร

ใช้สัญลักษณ์ AB แทนส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศจาก A ไป B อ่านว่า เวกเตอร์เอบี เรียก A ว่าจุดเริ่มต้น (initial point) ของ

AB เรียก B ว่าจุดสิ้นสุด(terminal point) ของAB หัวลูกศรจะอยู่ที่จุดสื้นสุด

ขนาดของเวกเตอร์AB คือความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ใช้สัญลักษณ์ |AB| ขนาดนี้จะเป็นปริมาณสเกลาร์

อาจใช้สัญลักษณ์ u แทนเวกเตอร์ได้

การเท่ากันของเวกเตอร์

เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ

1. มีขนาดเท่ากัน 2. มีทิศทางเดียวกัน

นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ที่มีขาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม

ให้ u เป็นเวกเตอร์ใดๆ เขียนแทนนิเสธของ u ด้วย – u

เวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน

ดังนั้น เวกเตอร์ศูนย์คือจุดนั่นเอง เนื่องจากไม่มีความยาว และมีขนาดเท่ากับศูนย์

การบวกและลบเวกเตอร์

กรณีที่เป็นการบวกเวกเตอร์

นิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ใดๆในระนาบ สามารถหา u+v ได้โดยเลือกจุด A

จุดใดจุดหนึ่งมาหาจุด B ที่ทำให้ u = AB และหาจุด C ที่ทำให้ v = BC ซึ่งจะได้ w = AC จะได้

AC = AB + BC หรือ w = u + v

ในกรณีที่เป็นการลบเวกเตอร์

ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆในระนาบ ลบของเวกเตอร์ u ด้วย v เขียนแทนได้ด้วย u – v และ

u – v = u + ( -v )

วกเตอร์ (Vector) ในระบบพิกัดฉาก(2มิติ)และ 3 มิติ

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและ 3 มิติ

เนื้อหาประกอบด้วย

2.1 ระบบพิกัด

2.2 เวกเตอร์

2.3 ส่วนประกอบของเวกเตอร์

2.4 การบวกเวกเตอร์

2.5 เวกเตอร์ตำแหน่ง

2.6 การคูณเวกเตอร์

สรุปเวกเตอร์ (Vector)ในระบบพิกัดฉาก(2มิติ)และ 3 มิติ

เวกเตอร์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ซึ่งดูเหมือนไม่มีความจำเป็นแตเป็นเครื่องมืออย่างแรกที่ต้องใช้ อย่างไรก็ตามในการศึกษาทางฟิสิกส์เวกเตอร์เป็นเครื่องมือที่มีความสำคัญ เพื่อช่วยในอำนวยความสะดวกในการคำนวณ

2.1 ระบบพิกัด (แกนอ้างอิง)

ระบบพิกัดมีความสำคัญเพื่อช่วยในการวัดมีความหมาย เช่นอีก 800 m ถึงอาคารวิทยาศาสตร์เป็นการบอกที่ไม่สมบูรณ์ เนื่องจากไม่ทราบว่าเริ่มต้นที่ตำแหน่งใด

ดังนั้นในการกำหนดระบบพิกัดต้องทราบ

ก. จุดเริ่มต้น

ข. ชนิดของระบบพิกัด (พิกัดฉาก ; พิกัดเชิงขั้ว ; พิกัดทรงกระบอก)

ค. ทิศตามแกน

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 2 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar)

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 3 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical) และระบบพิกัดทรงกลม (Spherical)

รูปที่ 2.3 ระบบพิกัดฉากใน 3 มิติ

2.2 เวกเตอร์

สเกลาร์ : ปริมาณที่มีเฉพาะขนาดอย่างเดียว

เวกเตอร์ : ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

รูปที่ 2.1 แสดงระบบพิกัดใน 2 มิติ

สัญลักษณ์ที่ใช้

(รูปที่ 1)

บทนิยาม 1 ถ้าเวกเตอร์ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว ผลบวกของเวกเตอร์ u และ v เขียนแทนด้วยเวกเตอร์ u + v หาได้จากให้ตำแหน่งเวกเตอร์ v มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ u
เวกเตอร์ u + v จะแทนด้วยลูกศรจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ u ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ v ดังรูปที่ 2

(รูปที่ 2)

บทนิยาม 2 ให้เวกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว เวกเตอร์ kv หมายถึงเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ |k| เท่าของเวกเตอร์ v เมื่อ k>0เวกเตอร์ kv จะมีทิศทางเดียวกับ v และเมื่อ k<0 เวกเตอร์ kvมีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ v และให้เวกเตอร์ kv =0 เมื่อ k =0