สรุป ความน่าจะเป็น ม.4-6

ในชีวิตประจำวัน เรามักจะได้ยินคำว่า “โอกาส” เช่น โอกาสที่ฝนจะตกเท่ากับ90% หมายถึง เหตุการณ์ที่ฝนจะตกมากกว่าเหตุการณ์ที่ฝนไม่ตก แต่ถ้าเราโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ โอกาสที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยเป็นจำนวนเท่า ๆ กัน คือ 50%

หลักการบวกและการคูณ

ในการที่เราจะนับจำนวนสิ่งของ เหตุการณ์ หรือ จำนวนวิธีในการทำงานบางอย่าง อาจจะสามารถนับได้โดยตรง แต่หากสิ่งที่จะนับมีจำนวนมาก อาจจะทำให้การนับโดยตรงนั้นทำได้ยาก จึงมีหลักการนับ เพื่อช่วยให้การนับสิ่งที่มีจำนวนเยอะ ทำได้ง่ายขึ้น

หลักการบวก

n1 + n2 + … + nn

หลักการคูณ

n1 ✕ n2 ✕ … ✕ nn

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N

และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n

โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร

P(E)=n(E)n(S)

เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ

n(E) แทนด้วย จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทนด้วย จำนนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

การทดลองสุ่มและเหตุกราณ์

การทดลองสุ่ม คือ การกระทำหรือการทดลองที่ไม่สามารถคาดการณ์คำตอบล่วงหน้าได้

ตัวอย่างของการทดลองสุ่ม เช่น

การโยนเหรียญบาท
การทอดลูกเต๋า
การจับสลาก
การเสี่ยงเซียมซี
การสอยดาว
การซื้อหวย เป็นต้น

ผลลัพธ์จากการทดลองสุ่ม (Sample Space) คือ ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 1 โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด

ตอบ โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้มี 2 แบบ คือ หัว (H) และ ก้อย (T)

ตัวอย่างที่ 2 ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด

ตอบ ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดมี 6 แบบ คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6

เหตุการณ์ (Event) คือ เหตุการณ์ คือสิ่งที่เราสนใจ(นำมาพิจารณา)จากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างเช่น โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดคือ ( H,H), ( H,T), ( T,H), ( T,T)

สมมุติ เราสนใจผลลัพธ์ที่หน้าของเหรียญเหมือน ซึ่งมี 2 แบบ คือ ( H,H), ( T,T)

หรือ ถ้าเราสนใจผลลัพธ์ที่หน้าของเหรียญต่างกัน ซึ่งมี 2 แบบเหมือนกัน คือ ( H,T), ( T,H)

1. แดง ดำ เขียว ยืนเข้าแถวเป็นแนวตรง จงหาความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวยืนแยกกัน
S= {(แดง ดำ เขียว) , (แดง เขียว ดำ) , (เขียว แดง ดำ) , (เขียว ดำ แดง) , ( ดำ แดง เขียว) , ( ดำ เขียว แดง )}
ดังนี้ n(S)=6
เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ
E = {(เขียว แดง ดำ), ( ดำ แดง เขียว)}

นั่นคือ n(E)=2

คำตอบข้อนี้ ความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวจะยืนแยกกันคือ P(E)=2/6=1/3

2. กบสุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาดสีแดง 4 เม็ด สีดำ 2 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

แทน

r1 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 1

r2 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 2

r3 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 3

r4 คือลูกกวาดสีแดง เม็ดที่ 4

b1 คือลูกกวาดสีดำ เม็ดที่ 1

b2 คือลูกกวาดที่ดำ เม็ดที่ 2

ดังนั้น สุ่มหยิบลูกกวาดออกมา 2 เม็ดพร้อมกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ

S= { ( r1, r2 ) ,( r1 , r3 ) , (r1,r4) , (r1,b1) , (r1,b2) , ( r2 , r3 ) ,(r2,r4) , (r2,b1) ,(r2,b2) , (r3 ,r4) ,(r3 , b1 ) , ( r3 , b2 ) , (r4 , b1 ) ,

(r4 ,b2) , (b1 , b2 ) }

มีทัังหมด 15 แบบ ดังนั้น n(S)= 15

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

เหตุการที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

E = { ( r1,b1) , (r1,b2) , (r2,b1) , (r2,b2) , (r3,b1) , (r3,b2) , (r4,b1) , (r4,b2) }

ซึ่งมี 8 แบบ หรือ 8 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 8

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

P(E)= n(E)/n(S)=8/15

2. เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

E = {( r1,r2) , (r1,r3) , (r1,r4) , (r2,r3) , (r2,r4) , (r3,r4) }

ซึ่งมี 6 แบบ หรือ 6 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 6

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด คือ

P(E)=n(E)/n(S)=6/15=2/5

เหตุการณ์ (Events)

คือ ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากการทดลองสุ่ม นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ ตัวพิมพ์ใหญ่แทนเหตุการณ์ ตัวอย่าง เช่น

1. โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้งจงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT

ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH

2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้งต้องการให้เกิดแต้มคู่

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ จากการทดลองสุ่ม มี 6 แบบ คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดแต้มคู่มี 3 แบบ คือ 2 , 4 และ 6

ตัวอย่างเหตุการณ์

1. ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง ต้องการหน้าหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง

ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH

2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ต้องการให้เกิดแต้มคู่

ผลลัพธ์ ที่เกิดขึ้น คือ 2, 4, 6

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน

กำหนดให้ E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ

P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเดหตุการณ์

S แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

n(S) แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0

ตัวอย่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1. การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อย อย่างน้อย 2 เหรียญ

ให้ H แทน หัว T แทน ก้อย การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมี 8 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าเมื่อโยนเหรียญแล้วจะขึ้นหน้าใด ถ้าเหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น มี 4 แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ

2. การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก 1 ครั้ง จากกล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง 4 ลูก สีขาว 4 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีส้ม 6 ลูก ปะปนกันอยู่ ด.ญ.สุรีย์พรสุ่มหยิบลูกปิงปองจากกล่องใบนี้ขึ้นมา 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีส้ม

จากโจทย์ เราสามารถหาผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม หยิบลูกปิงปองทั้ง 5 สี จากกล่องใบนี้มา 1 ลูก คือ 4 + 4 + 3 + 3 + 6 = 20 ลูก ดังนั้นจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ 20 หรือ n(S) = 20

ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ ด.ญ.สุรีย์พร สุ่มหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปอง สีส้ม 6 ลูก จะได้ n(E) = 6

ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ

จากการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นสามารถช่วยให้เรารู้ว่าเหตุการณ์ที่พิจารณา อยู่นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ความรู้ เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียว อาจไม่เพียงพอที่จะช่วยเราตัดสินใจได้ จำเป็นจะต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วย ซึ่งองค์ประกอบหนึ่ง คือ ผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น ในทางสถิติได้นำความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์ นั้น พิจารณาประกอบกันเป็นค่าคาดหมาย ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์

ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดขึ้น) +

(ผลตอบแทนที่เสีย X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ต้องการให้เกิดขึ้น)

โดยผลตอบแทนของเหตุการณ์อาจหมายถึง ผลตอบแทนที่ได้หรือผลตอบแทนที่เสีย เช่น ในการโยนเหรียญหัว ก้อย ถ้าออกหัวผู้เล่นจะได้เงิน 2 บาท แต่ถ้าออกก้อยผู้เล่นจะต้องเสียเงิน 3 บาท แสดงว่า เงิน 2 บาทที่ผู้เล่นจะได้รับเป็นผลตอบแทนที่ได้ แทนด้วย +2 และเงิน 3 บาทที่ผู้เล่นจะต้องเสียเป็นผลตอบแทนที่เสียซึ่งแทนด้วย -3