สรุป เซตเบื้องต้น คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

เซต (Set) เป็นคําอนิยาม หมายถึง คําที่ต้องยอมรับกันในเบื้องต้นว่าไม่สามารถให้ความหมายที่รัดกุมได้
คําว่าเซตจึงหมายถึงกลุ่มของสิ่งของต่าง ๆ เมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วจะสามารถบอกได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม
และสิ่งใดอยู่นอกกลุ่ม เรียกสิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (element)(Pual Glendinning. 2012 : 48)
สําหรับเซตที่ไม่มีสมาชิกเขียนแทนด้วย ∅ เรียกว่า เซตว่าง (empty set) ถ้า a เป็นสมาชิกของเซต A
เขียนแทนด้วย a ∈ A และถ้า a ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย a /∈ A เช่น A = {1, 2, 3} จะได้
ว่า 1 ∈ A แต่ 4 ∈/ A เป็นต้น การเขียนเซตประกอบด้วย 2 วิธีคือ วิธีแจกแจงสมาชิก และวิธีบอกเงื่อนไขของ
สมาชิก
1. วิธีแจกแจงสมาชิก (Tubular form) การ เขียน เซตแบบแจกแจงสมาชิก คือการ เขียน เซต
โดยเขียนสมาชิกลงในเครื่องหมายวงเล็บปี กกา {} และใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
ตัวอย่างเช่น {1, 2, 3} และ {a, b, c} เป็นต้น

EX 1  จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
(1) A เป็นเซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน”
(2) B เป็นเซตของจํานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 200
(3) C เป็นเซตของจํานวนเต็มบวกที่เป็นจํานวนคู่

วิธีทํา (1) A = {เมษายน, มิถุนายน, กันยายน, พฤศจิกายน}
(2) B = {1, 2, 3, . . . , 199}
(3) C = {2, 4, 6, 8, 10, . . .}

EX 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
(1) H = {x | x เป็นจํานวนเต็ม และ x
2 − 3x + 2 = 0}
(2) I = {x | x เป็นจํานวนเต็ม}
(3) J = {x | x เป็นจํานวนเต็ม ที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2}

วิธีทํา (1) H = {1, 2}
(2) I = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
(3) J = ∅
2. วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขประกอบด้วย
2 ส่วน ส่วนแรกหมายถึงสมาชิก และส่วนที่สองคือเงื่อนไขของสมาชิก โดยมีเครื่องหมาย “|” หรือ “:” หรือ “;”
คั่นระหว่างสองส่วนนั้น ซึ่งในที่นี้มักใช้เครื่องหมาย “|” และจะอ่านเครื่องหมาย “|” ว่า “ซึ่ง” หรือ “ที่” หรือ
“โดยที่” (ช่อเอื้อง อุทิตะสาร. 2562 : 45, มานัส บุญยัง. 2532 : 3)
A = {สมาชิก | เงื่อนไขของสมาชิก}
ตัวอย่างเช่น A = {x | x เป็นจํานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5} หมายถึง เซต A คือเซตของ x โดยที่ x เป็น
จํานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5 และเขียนแจกแจงสมาชิกได้เป็น A = {1, 2, 3, 4}

EX 3 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
(1) L = {1, 4, 9, 16, 25}
(2) M = {สีแดง, สีขาว, สีนํ้าเงิน}
(3) N = { }
วิธีทํา (1) L = {x 2| x เป็นจํานวนเต็มบวก และ x 2 ≤ 25}
(2) M = {x | x เป็นสีของธงชาติไทย}
(3) N = {x | x เป็นเดือนที่มี25 วัน}
สับเซต (Subset)
สําหรับเซต A ที่มีสมาชิกทุกตัวอยู่ในเซต B จะกล่าวว่า A เป็น สับเซต (Subset) ของ B
เขียนแทนด้วย A ⊆ B
ดังนั้น ถ้ามีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นสมาชิกของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B ก็จะกล่าวว่า เซต A ไม่
เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์A ̸⊆ B ในเบื้องต้นเพื่อให้ง่ายต่อการนําไปใช้ กําหนดสัญลักษณ์
ดังนี้
C แทนเซตของจํานวนเชิงซ้อน Z แทนเซตของจํานวนเต็ม
R แทนเซตของจํานวนจริง N แทนเซตของจํานวนนับ

เอกภพสัมพัทธ์(universe) คือเซตที่ถูกกําหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซต
นี้เท่านั้น และนิยมใช้U แทนเอกภพสัมพัทธ์ เมื่อให้A และ B เป็นเซตในเอกภพสัมพัทธ์U นิยามการดําเนิน
การบนเซตดังต่อไปนี้
การดําเนินการบนเซต
ยูเนียน (union) A ∪ B = {x | x ∈ A หรือ x ∈ B}
อินเตอร์เซกชัน (intersection) A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B}
ผลต่าง (difference) A \ B = A − B = {x | x ∈ A และ x /∈ B}
ส่วนเติมเต็ม (complement) A{ = {x | x ∈ U และ x /∈ A}
ในกรณีที่ทราบจํานวนสมาชิกของเซต A เขียน | A | แทนจํานวนสมาชิกของ A และได้ว่า
| A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B |

| A | = | U | − | A {|เมื่อ A และ B เป็นเซตที่ทราบจํานวนสมาชิกแน่ชัด เป็นเซตในเอกภพสัมพัทธ์U

ตัวอย่าง 1.2.7
จากการสํารวจนักศึกษากลุ่มหนึ่งจํานวนทั้งหมด 30 คน พบว่า มี20 คน ชอบเรียนวิชาแคลคูลัส และมี
25 คน ชอบเรียนวิชาทฤษฎีจํานวน อยากทราบว่านักศึกษาที่ชอบเรียนทั้งสองวิชามีทั้งหมดกี่คน
วิธีทํา ให้A แทน เซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนวิชาแคลคูลัส
และ B แทน เซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนวิชาทฤษฎีจํานวน
จะได้ว่า | U | = 30, | A | = 20 และ | B | = 25
จาก | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B |
จะได้ว่า 30 = 20 + 25 − | A ∩ B |
| A ∩ B | = 45 − 30 = 15
ดังนั้น นักศึกษาที่ชอบเรียนทั้งสองวิชามีทั้งหมด 15 คน