อัตราส่วนตรีโกณมิติ
5.1 ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
5.2 อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม
5.3 การนำอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหา
เนื้อหาทั้งหมดตามหลักสูตรของ สสวท.
ความหมายอัตราส่วนตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การเรียนในเรื่องนี้ผู้เรียนจำเป็นต้อง ใช้ความรู้เดิมเรื่องสามเหลี่ยมคล้ายเพื่อเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจ การเรียนวิชาตรีโกณมิติให้ได้ดีนั้นต้องจำนิยามของตรีโกณมิติให้ได้ ระดับมัธยมต้นใช้นิยามสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติ ก็คือ อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งจะมีชื่อเรียกดังนี้
“Sine A” ไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sin A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
“Cos A” โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cos A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
“Tangent A” แทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า tan A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านประชิดมุม A
ส่วนฟังก์ชัน cosec, sec และ cot นั้น ก็ใช้นิยามเข้าช่วย ซึ่งเป็นส่วนกลับของ sin, cos และ tan ตามลำดับ จึงต้องจำฟังก์ชัน sin, cos, tan ก็จะได้ในส่วนของ cosec, sec และ cot ขึ้นมาเองโดยอัตโนมัติ
“Cotangent A” โคแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cot A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุม A
“Secant A” ซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านประชิดมุม A
“Cosecant A” โคซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cosec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A
นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสาม เหลี่ยมมุมฉากในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
- ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
- ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b
จะได้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a
วิธีจำ
วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า
-
- ข้ามฉาก … sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ชิดฉาก … cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ข้ามชิด … tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
1. sin A . cosec A = 1
2. cos A . sec A 
= 1
3. tan A . cot A = 1
6. sin2 A + cos2 A = 1
7. sec2 A – tan2 A = 1
8. cosec2 A – cot2 A = 1
| มุม | |
| หน่วยองศา 1 องศา 60′ (ลิปดา)1 ลิปดา 60″ (ฟิลิปดา) |
|
| หน่วยเรเดียน
|
|
| เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามควอแดรนต์
|
