เซตเรื่องเรื่อง-จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

    สูตรที่ 4      ถ้า A,B  และ C  เป็นเซตจำกัดใดๆ แล้ว

                        n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩B)+n(A∩B∩C)

    สูตรที่ 5       ถ้า  A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว

                        n(A-B)=n(A)-n(A∩B)

                        n(B-A)=n(B)-n(A∩B)

      

        1) n(A)  มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(A)=24)

        2) n(B) มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(B)=11)

        3) n(U) มีค่าเท่ากับท่าไร ( n(U)=45)

        4) n(A∩B)มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(A∩B)=5)

        5) n(AUB)มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(AUB)=30)

        6) n(A-B)มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(A-B)=19)

ตัวอย่างที่ 1    กำหนดให้ A={5,10,15} และ B={1,2} จะพบว่า A∩B=Ø
และ n(AUB)=n(A)+n(B)  ดังนั้น  n(AUB)=5

                        และ  n(A)+n(B)=3+2=5

                        ดังนั้น n(AUB)=n(A)+n(B)

    สูตรที่  2  ถ้า A1,A2,…,Am เป็นเซตจำกัด และเป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่แล้ว

            n(A1UA2U…UAm)=n(A1)+n(A2)+…+n(Am)

        การหา n(AUB) โดยที่ A และ B เป็นเซตจำกัดและไม่จำเป็นต้องเป็นเซตต่างสมาชิก กล่าวคือ ถ้า A  และ B  เป็นเซตจำกัด โดยที่ n(A)=m, n(B)=k และ n(A∩B)=s ดังนี้

        กรณีที่ 1   ถ้า A∩B=Ø  แล้ว  n(A∩B)=s=0
ดังนั้น จากสูตร 1 จะได้ว่า
n(AUB)=n(A)+n(B)=m+k=m+k-s
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

        กรณีที่ 2  ถ้า A∩B=Ø  แล้ว  n(A∩B)=s>0

                        ดังนั้น   n(A-B)=m-s
n(B-A)=k-s
n(A∩B)=s
เพราะว่า A-B, B-A และ A∩B เป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่และ
AUB=(A-B)U(B-A)U(A∩B)

                        ดังนั้น   n(AUB)=n(A-B)U(B-A)U(A∩B)
=n(A-B)+n(B-A)+n(A∩B)
=(m-s)+(k-s)+s
=m+k+s
นั่นคือ n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

    จากทั้งสองกรณี สรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้

    สูตรที่ 3    ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
กำหนดให้ A,B และ C เป็นเซตจำกัดใดๆ
n(AUBUC)=n(AU(BUC))
=n(A)+n(BUC)-n(A∩(B∩C))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n((A∩B)U(A∩C))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-
[n(A∩B)n(A∩C)-n(A∩B)∩(A∩C)]
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)+n(A∩B∩C)

    ซึ่งสรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้

    สูตรที่ 4    ถ้า A  และ B  เป็นเซตจำกัดใดๆ แล้ว
n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩C)
n(A∩C)+n(A∩B∩C)

                    

                    จะพบว่า A=(A-B)U(A∩B) และ  (A-B)∩(A∩B)=Ø
ดังนั้น จากสูตรที่ 1 จะได้ว่า
n(A)     = n((A-B)∩(A∩B))
= n(A-B)+n(A∩B)
ดังนั้น  n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
ในทำนองเดียวกัน
n(B-A) = n(B)-n(A∩B)

        จาก (1) และ (2)  สรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้

    สูตรที่ 5    ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
n(B-A)=n(B)-n(A∩B)
กรณีที่  เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ U  เป็นเซตจำกัด ถ้าเราทราบ  n(A) และ n(U)

    แล้วเราสามารถคำนวณหา n(A’)  ได้โดยใช้สูตรที่ 1 ดังต่อไปนี้
เนื่องจาก U = A∩A’ และ     A∩A’ = Ø ดังนั้นจากสูตรที่ 1 จะได้ว่า
n(U)=n(AUA’)=n(A)+n(A’)
n(A’)=n(U)-n(A)
ซึ่งสรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้

    สูตรที่  6  ถ้า A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ  U เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(A’) =n(U)-n(A)

    ตัวอย่างที่ 1    โรงพยาบาลแห่งหนึ่งทำการสำรวจข้อมูลจากผู้ป่วยที่มีอายุเกิน 40 ปี จำนวน 1,000 คน ปรากฏว่า มีคนสูบบุหรี่ 312 คน มีคนเป็นมะเร็งที่ปอด 180 คน และมี 660 คน ไม่สูบบุหรี่และไม่เป็นมะเร็งที่ปอด อยากทราบว่า มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวนเท่าใด

     วิธีทำ    กำหนดให้  A แทน  เซตของคนที่สูบบุหรี่
B แทน  เซตของคนที่เป็นมะเร็งที่ปอด

                    นั่นคือ n(A)=312,n(B)=180,n(C)=44,n(AUB)’=660
จะได้ n(A∩B)
จากสูตร n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

    สูตรการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
ให้    U แทน    เซตของผู้ป่วยทั้งหมดที่ทำการสำรวจ
A แทน    เซตของผู้ป่วยที่สูบบุหรี่
B แทน    เซตของผู้ป่วยที่เป็นมะเร็งที่ปอด
จากโจทย์ จะได้ว่า n(U) = 1,000, n(A)=312, n(B)=180, n(AUB)’=660
จากสูตร    n(AUB)   = n(U)-n(AUB)’
= 1,000-600
=340
จากสูตร  n(AUB)     = n(A)+n(B)-n(A∩B)
340         = 312+180-n(A∩B)
n(A∩B)    = 312+180-340
=152
ดังนั้น มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวน 152 คน

        นอกจากวิธีการใช้สูตรแล้ว สามารถนำแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ มาช่วยในการแก้ปัญหาได้ด้วย ดังนี้

    วิธีที่ 2  โดยใช้แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
ให้    U    แทน    เซตของผู้ป่วยทั้งหมดที่ทำการสำรวจ
A    แทน    เซตของผู้ป่วยที่สูบบุหรี่
B    แทน    เซตของผู้ป่วยที่เป็นมะเร็งที่ปอด
x    แทน    จำนวนผู้ป่วยที่สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอด
เขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้

จะได้ว่า  (312-x)+x+(180-x)+660 = 1,000
1,152-x = 1,000
x = 1,152-1,000
x = 152
ดังนั้น มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวน 152 คน

                การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด กรณีที่มีเซตจำนวน 3 เซต ดังนี้

    ตัวอย่างที่ 2  จากการสำรวจผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ฯ จำนวน 3,000 คน พบว่า

                        มีผู้ถือหุ้นของบริษัท ก, ข และ ค ดังนี้

                        ผู้ถือหุ้นบริษัท ก                มีจำนวน    200    คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ข                มีจำนวน    250    คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ค                มีจำนวน    300    คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ข     มีจำนวน     50    คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ข และ ค     มีจำนวน     40    คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ค     มีจำนวน     30    คน
และไม่มีผู้ที่ถือหุ้นทั้งสามบริษัท
จากจำนวนผู้ถือหุ้นที่สำรวจ ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่น ๆ ที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้จำนวนเท่าใด

        วิธีที่ 1     โดยใช้สูตรการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

                       ให้    U     แทน        เซตของผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ที่ถูกสำรวจทั้งหมด
A     แทน        เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ก
B     แทน        เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
C     แทน        เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ค

        จากโจทย์ จะได้ว่า n(U)=3,000, n(A)=200, n(B)=250, n(C)=300, n(A∩B∩C)=0

                                        n(A∩B)       = 50, n(B∩C)=40, n(A∩C)=30
จากสูตร n(AUBUC)    = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)     = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 +0
= 630

                                        n(AUBUC)’ = n(U)-n(AUBUC)
= 3,000 – 630
= 2,370
ดังนั้น ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่นๆที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้มีจำนวน 2,370 คน

        วิธีที่ 2      โดยใช้แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
ให้        U    แทน        เซตของผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ที่ถูกสำรวจทั้งหมด
A    แทน        เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ก
B    แทน        เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
C    แทน        เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ค
x     แทน        จำนวนของผู้ถือหุ้นทั้งสามบริษัท