ซับเซตและเพาเวอร์เซต ( subset & power set)
ความหมายของเซต
เซตจะหมายความถึงกลุ่มของสิ่งของหรือวัตถุ(Object) ที่มีคุณสมบัติ(Property) บางอย่างคล้ายคลึงกัน เรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่าสมาชิก ( Element หรือ Member ) เมื่อกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งของกลุ่มหนึ่ง ต้องทราบแน่นอนว่า มีสิ่งของหรือวัตถุสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง และต้องทราบแน่นอนอีกว่า สิ่งของสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงเซต ๆ หนึ่ง ก็ต้องทราบว่าสิ่งใดเป็นสมาชิกของเซตนั้น และสิ่งใดไม่เป็นสมาชิกของเซตนั้น
เซตเป็นพจน์อนิยาม นั่นคือไม่ต้องให้คำจำกัดความของคำนี้ ในภาษาไทยมีหลายคำที่มีความหมายอย่างเดียวกับคำว่าเซต ได้แก่ กลุ่ม ฝูง หมู่ โขลง ชุด คณะ กอง กรม สำหรับ ครอบครัว ตระกูล ห้อง พะวง เหล่านี้เป็นต้น ในภาษาอังกฤษมีคำหลาย ๆคำที่ใช้ในความหมายอย่างเดียวกับคำว่า set ได้แก่ group,collection,family, totality,aggregate เป็นต้น แต่ก็มีบางโอกาสที่นักคณิตศาสตร์ได้นำคำเหล่านี้บางคำ ไปใช้ในความหมายที่แตกต่างกันบ้าง เพื่อความสะดวกบางประการของเนื้อหา
การเขียนเซต
การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ
1. การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก
เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}
เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }
2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข
ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร เช่น
{x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ
{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี
เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( … ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซตเช่น
{ 1,2,3,…,10 } สัญลักษณ์ … แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,…, อาทิตย์ } สัญลักษณ์ … แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต
สับเซต (Subset)
ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B
ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B
ตัวอย่าง การเป็นสับเซตและไม่เป็นสับเซตกัน
กำหนดให้ A={1,2,3,4,5},B={2,3,5} และ C={2,4}
จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของ B คือ 2,3 และ 5 เป็นสมาชิกของ A ด้วย ดังนั้น B ⊂ A และสมาชิกของ C คือ 2 และ 4 ก็เป็นสมาชิกของ A ด้วยเช่นกัน ดังนั้น C ⊂ A แต่ในขณะที่สมาชิกของ C ตัวหนึ่ง คือ 4 ไม่เป็นสมาชิกของ B ดังนั้น C ⊄ B
สมบัติของสับเซต
1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต
เพาว์เวอร์เซต ( power set )
ถ้า A เป็นเพาว์เวอร์เซต (Power Set) ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด
เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของA}
เช่น ถ้า A={1,2} สับเซตของ A คือ ∅,{1},{2},{1,2}หรือ A
ดังนั้น P(A)={∅,{1},{2},A}
คุณสมบัติของเพาว์เวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
1. ∅∈P(A) เพราะ ∅⊂A เสมอ
2. ∅⊂P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต แล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน
3. A∈P(A) เพราะ A⊂Aเสมอ
4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด และ n(A) คือจำนวนสมาชิกของ A แล้วP(A)จะมีสมาชิก2n(A) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)
5. A⊂B ก็ต่อเมื่อ P(A)⊂P(B)
6. P(A)∩P(B)=P(A∩B)
