มาเรียนเลขเรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน มี ดังนี้
- คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- กราฟของความสัมพันธ์
- การประยุกต์ของกราฟ
- ฟังก์ชัน
- ฟังก์ชันต่างๆ บางชนิด
- แบบต่างๆ ของฟังก์ชัน
- ฟังก์ชันผกผัน
- การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยจำนวนจริงของฟังก์ชัน
- ฟังก์ชันประกอบ
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d
การเท่ากันของคู่อันดับ หมายถึง (x1, y1) = (x2, y2)
ก็ต่อเมื่อ x1 = y1 และ x2 = y2 หรือก็คือ ตัวหน้า = ตัวหน้า, ตัวหลัง = ตัวหลัง
• คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้
สมบัติของคู่อันดับ
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d
• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B
นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว
1.A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø
2. A × Ø = Ø × A = Ø
3. A × ( B ∪ C )= (A× B) ∪(A × C)
(A ∪ B) × C = (A× C) ∪(B × C)
4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)
(A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)
5. A × ( B – C ) = (A× B) – (A × C)
(A – B) × C ) = (A× C) – (B × C)
6. ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)
8. ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์
ความสัมพันธ์ (Relation)
r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B
โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)
- โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น Dr = {x | (x, y) ε r}
- เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น Rr = {y | (x, y) ε r}
หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ R
|
ลักษณะของความสัมพันธ์ |
วิธีหาโดเมน |
วิธีหาเรนจ์ |
| เซตแบบแจกแจงสมาชิก |
พิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r |
พิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r |
| เซตแบบบอกเงื่อนไข |
|
|
| กราฟ |
พิจารณาค่าของ x ทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียนกราฟ |
พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ |
-
การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยจำนวนจริงของฟังก์ชัน
| • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง | ||||
|
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
||||
| 1. สมบัติการสะท้อน a = a | ||||
| 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a | ||||
| 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c | ||||
| 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c | ||||
| 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc | ||||
| • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง | ||||
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
|
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง |
||||
|
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c |
||||
|
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c |
||||
|
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 |
||||
|
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก |
||||
|
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a |
||||
|
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก |
||||
|
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง |
||||
|
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ |
||||
|
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง |
||||
|
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba |
||||
|
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c |
||||
|
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 |
||||
|
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ |
||||
|
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 |
||||
|
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 |
||||
|
6. สมบัติการแจกแจง |
||||
|
a( b + c ) = ab + ac |
||||
|
( b + c )a = ba + ca |
||||
| จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
|
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b |
||||
|
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c |
||||
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b | ||||
| ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a · 0 = 0 | ||||
| 0 · a = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| (-1)a = -a | ||||
| a(-1) = -a | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
|
a(-b) = -ab |
||||
| (-a)b = -ab | ||||
| (-a)(-b) = ab | ||||
| เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |
||||
| • การลบจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a- b = a + (-b) | ||||
| นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b | ||||
| • การหารจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 | |||
|
||||
|
||||
ฟังก์ชันประกอบ
Dg ต้องไม่เท่ากับ Ø จากแผนภาพจะพบว่า
f เป็นความสัมพันธ์จาก A → B
g เป็นความสัมพันธ์จาก B → C
gof เป็นความสัมพันธ์จาก A → C การหาฟังก์ชันประกอบ จากแผนภาพการแจกแจงสมาชิกของฟังก์ชันทำได้ ดังตัวอย่างที่ 1
