ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Expo + Log) ม.4
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมาก มีบทบาทในการอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและศาสตร์ต่างๆ
นิยามและความหมาย
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลอยู่ในรูป y = a^x โดยที่ a เป็นค่าคงที่บวก (a > 0) และ a ≠ 1 ส่วน x เป็นตัวแปร
- a เรียกว่า “ฐาน” ของฟังก์ชัน
- x เรียกว่า “เลขชี้กำลัง”
ลักษณะสำคัญของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
- การเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ: เมื่อ x เพิ่มขึ้น ค่า y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในอัตราที่เร่งขึ้นเรื่อยๆ
- การลดลงแบบทวีคูณ: เมื่อ x ลดลง ค่า y จะลดลงอย่างรวดเร็วเข้าใกล้ศูนย์
- กราฟ: กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีลักษณะโค้งขึ้นด้านบน (เมื่อ a > 1) หรือโค้งลงด้านล่าง (เมื่อ 0 < a < 1)
การนำไปใช้
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีการนำไปใช้ในหลากหลายสาขา เช่น
- คณิตศาสตร์: เป็นพื้นฐานของแคลคูลัสและการวิเคราะห์เชิงซับซ้อน
- วิทยาศาสตร์: อธิบายการเจริญเติบโตของประชากร การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ปฏิกิริยาเคมี
- เศรษฐศาสตร์: คำนวณดอกเบี้ยทบต้น การเติบโตทางเศรษฐกิจ
- คอมพิวเตอร์: การวิเคราะห์ความซับซ้อนของอัลกอริทึม
ตัวอย่าง
- y = 3^x เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่มีฐาน 3
- y = (1/4)^x เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่มีฐาน 1/4
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเป็นหัวข้อสำคัญในคณิตศาสตร์ ม.4 ที่มีความเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
- นิยาม: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลอยู่ในรูป y = a^x โดยที่ a เป็นค่าคงที่บวก (a > 0) และ a ≠ 1 ส่วน x เป็นตัวแปร
- ลักษณะสำคัญ:*
- การเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ: เมื่อ x เพิ่มขึ้น ค่า y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว
- การลดลงแบบทวีคูณ: เมื่อ x ลดลง ค่า y จะลดลงอย่างรวดเร็วเข้าใกล้ศูนย์
- กราฟ: กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีลักษณะโค้งขึ้นด้านบน (เมื่อ a > 1) หรือโค้งลงด้านล่าง (เมื่อ 0 < a < 1)
- สมบัติ:*
- a^0 = 1
- a^1 = a
- a^(x+y) = a^x * a^y
- a^(x-y) = a^x / a^y
- (a^x)^y = a^(xy)
- การนำไปใช้: ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีการนำไปใช้ในหลายสาขา เช่น การเจริญเติบโตของประชากร การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น
ฟังก์ชันลอการิทึม
- นิยาม: ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล อยู่ในรูป y = log_a(x) โดยที่ a เป็นฐานของลอการิทึม (a > 0 และ a ≠ 1) และ x เป็นจำนวนจริงบวก
- ความหมาย: log_a(x) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ x
- ลักษณะสำคัญ:*
- กราฟ: กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมมีลักษณะโค้งขึ้นด้านบน (เมื่อ a > 1) หรือโค้งลงด้านล่าง (เมื่อ 0 < a < 1)
- สมบัติ:*
- log_a(1) = 0
- log_a(a) = 1
- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
- log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y)
- log_a(x^n) = n * log_a(x)
- การนำไปใช้: ฟังก์ชันลอการิทึมมีการนำไปใช้ในการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล การวัดความดังของเสียง (เดซิเบล) การคำนวณขนาดของแผ่นดินไหว (ริกเตอร์)
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน นั่นคือ
- ถ้า y = a^x แล้ว x = log_a(y)
- ถ้า y = log_a(x) แล้ว x = a^y
ความสัมพันธ์นี้ทำให้เราสามารถแปลงจากรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลไปเป็นรูปฟังก์ชันลอการิทึม และจากรูปฟังก์ชันลอการิทึมไปเป็นรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลได้
