เรื่องทฤษฎีจำนวนเรื่อง ขั้นตอนวิธีการหาร
• ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวอย่างที่ 1
กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
เขียนให้อยู่ในรูป
a = bq + r
48 = 7 × 6 +6
∴q = 6 และ r = 6
นิยาม ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ n≠0 แล้ว n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนต็ม c เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง m = nc
เรียก n ว่าตัวหารหนึ่งของ m สัญลักษณ์ n|m หมายถึง n หาร m ลงตัว n|/m หมายถึง n หาร m ไม่ลงตัว
1. การหารลงตัว
a|b หมายถึง “b หารด้วย a ลงตัว” หรือ “a หาร b ลงตัว”
b/a = c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็ม
สมบัติ
1) ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c
2) ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และ a|b แล้ว a≤b
3) ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็ม โดย a|b และ a|c แล้ว a(bx+cy) เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
2. การหารเหลือเศษ
a/b = c เศษ d → a = bxc+d โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ d < b เช่น
0/3 = 0 เศษ 0 → 0 = 3 x (0) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
2/3 = 0 เศษ 2 → 2 = 3 x (0) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
3/3 =1 เศษ 0 → 3 = 3 x (1) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
4/3 =1 เศษ 1 → 4 = 3 x (1) + 1 (เหลือเศษเท่ากับ 1)
11/3 = 3 เศษ 2 → 11 = 3 x (3) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
**Tips
ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว am/b เหลือเศษเท่ากับ เศษเหลือของ dm/b
3. จำนวนเฉพาะ และ จำนวนประกอบ
จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีแต่ 1, −1, ตัวมันเอง, จำนวนตรงข้ามของตัวมันเองเท่านั้นที่หารลงตัว
(โดยที่ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ) เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
จำนวนประกอบคือ จำนวนเต็มบวก ที่ไม่ใช่ 1 และ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะโดยสามารถเขียนจำนวนประกอบ
ให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะคูณกันได้ เช่น
4 = 2 × 2
6 = 2 × 3
21 = 3 × 7
24 = 2 × 2 × 2 × 3
4. ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
ห.ร.ม. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ (a,b)คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากที่สุดที่หาร a และ b ลงตัว
การหาค่า ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ห.ร.ม. ของ 300 และ 180 หรือ (300,180) คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60
สมบัติ
1) (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
2) *** ถ้า n|a และ n|b จะได้ว่า n|(a,b)***
5. ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ค.ร.น. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ [a,b]คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัว
การหาค่า ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ค.ร.น. ของ 300 และ 180 หรือ [300,180] คือ 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 = 900
สมบัติ
1) [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
2) *** ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n***
6. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่มีห.ร.ม. เท่ากับ 1(ดังนั้น จำนวนเต็ม 2 จำนวนนั้น จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน)
เช่น 21 กับ 25
21= 3×7
25 = 5×5
สรุป 21 กับ 25 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
ดังนั้น 21 กับ 25 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
26 กับ 35
26 = 2×13
35 = 5×7
สรุป 26 กับ 35 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
ดังนั้น 26 กับ 35 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
7. สมบัติร่วมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
(a,b) x [a,b] = a x b เช่น (300,180) คือ 60 , [300,180] คือ 900
จาก (300,180) x [300,180] = 300 x 180
จะได้ 60 × 900 = 300 × 180
บทสรุป
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
บทนิยาม จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p
ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
บทนิยาม จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c
ที่ทำให้ c = mn
ตัวอย่างเช่น
จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวหารร่วม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
ตัวหารร่วมมาก กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
ตัวคูณร่วมน้อย กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น “ตัวคูณร่วมน้อย” (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, …
พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, …
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, …
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72
