เรื่องลำดับและอนุกรม (Sequences & Series)
ลำดับและอนุกรม (Sequences and series)
| an = a1 + (n – 1)*d |
1) พิจาารณาลำดับ
1,3,5,7,9,…
จะเห็นว่า ถ้าเอา
3-1=2
5-3=2
7-5=2
9-7=2
นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 2
ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)
2) พิจารณาลำดับ
4,8,12,16,20,24,….
จะเห็นว่า ถ้าเอา
8-4=4
12-8=4
16-12=4
20-16=4
24-20=4
นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 4
ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)
จากตัวอย่างข้อ 1) และ 2)
ค่าที่เกิดจากการนำ พจน์ที่อยู่ด้านหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า ค่าๆนี้เรียนกว่า ผลต่างร่วม(common difference) เราจะแทนผลต่างร่วมด้วยตัว d
ดังนั้นจึงได้ว่า
ลำดับ 1,3,5,7,9,…
มีผลต่างร่วมหรือว่า d=2
และ
ลำดับ 4,8,12,16,20,24,….
มีผลต่างร่วมหรือ d=4
2.ลำดับเรขาคณิต
ลำดับเรขาคณิต ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า“อัตราส่วนร่วม”เขียนแทนด้วย
ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้
|
an = a1*rn-1 |
ตัวอย่างเช่น
5,10,20,40,80,160,…
ลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะว่า
105=2
2010=2
4020=2
8040=2
16080=2
จะเห็นว่าจับพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ติดกันข้างหน้าจะแล้วได้ค่าเท่ากันตลอดคือ 2 เรียกลำดับแบบนี้ว่า ลำดับเรขาคณิต
จากตัวอย่างผลหารที่หารออกมาคือ 2 เจ้าเลขสองนี้เขาเรียกว่า อัตราส่วนร่วม(common ratio)
ซึ่งแทนด้วยค่า r
ดังนั้น เราสามารถค่า r ได้โดยเอาพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ข้างหน้าติดกัน หรือถ้าเขียนให้เป็นภาษาคณิตศาสตร์คือ
r=an+1an
1) 5,15,45,… จงหาพจน์ทั่วไป
วิธีทำ จากลำดับที่กำหนดให้เราจะเห็นว่าเป็นลำดับเรขาคณิตและมี
r=155=3
เนื่องจากลำดับนีัเป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น
an=a1rn−1 แทนค่า r และ a1a1ลงไป
an=5(3)n−1
2) 1,−12,14,−18,…
วิธีทำ จากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต
r=−121
เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น
an=a1rn−1 แทนค่า r และ a1a1 ลงไป
an=1(−12)n−1
3) กำหนดลำดับ 162,-54,18,… จงหาค่าของ a7a7
วิธีทำ เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต
ดังนั้น r=−1854=−13
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ
an=a1rn−1 แทนค่า r และ a1a1ลงไป
an=162(−13)n−1
ดังนั้น
a7=162(−137−1)
a7=162(−136)
a7=162(1729)
7=162729
Ans a7=29
4) 243 เป็นลำดับที่เท่าไรของลำดับ 1,3–√,3,…1,3,3,…
วิธีทำ เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต
โดยที่ r=31=3 a1=1
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ an=a1rn−1an=a1rn−1
แทนค่า r และ a1a1 ลงไปในพจน์ทั่วไปเลยครับ จะได้
an=1(3)n−1
เขาถามว่า 243 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับนี้ ดังนั้น จะได้
243=1(3)n−1
35=312×(n−1) รากที่สองของสามคือ สามกำลังหนึ่งส่วนสอง
35=3n−12 อย่าลืมนะ 243 เท่ากับ สามยกกำลังห้า
ฐานเท่ากันแล้วคือ 3 ดังนั้นจะได้เลขชี้กำลังเท่ากันคือ
5=n−12
5×2=n−1
10+1=n
n=11
Ans 243 เป็นพจน์ที่ 11 ของลำดับนี้
